§ 6. Задача Эйлера

Рассматривается прямой стержень, защемленный на одном конце и нагруженный силой на другом (рис. 23). Сила — “мертвая”, т. е. не меняется при деформировании; . В отсчетной конфигурации стержень ненапряжен и располагается на оси декартовой системы Примем, что деформация происходит в плоскости

Рис. 23

Тогда поворот задается одним углом Пусть тензор жесткости акекек, где орты совпадают в отсчетной конфигурации с ортами к осей

Из уравнений баланса сил и моментов получим

Учитывая соотношения

придем к уравнению

Так же описываются колебания маятника — еще одно проявление аналогии Кирхгофа.

Уравнение интегрируется в квадратурах, поскольку допускает первый интеграл уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. В задачах динамики произвольные константы сразу находятся из начальных условий. Мы же имеем граничную задачу с условиями

Запишем первый интеграл уравнения (6.2)

Учтено граничное условие при и введено обозначение эта величина пока неизвестна. Далее примем естественное предположение, что в промежутке угол монотонно возрастает и . Тогда проходит замена переменной:

Но из в сочетании с (6,4) это дает

Здесь — известная специальная функция — неполный эллиптический интеграл первого рода [40]. Полагая получим уравнение для определения к:

полный эллиптический интеграл первого рода.

Поскольку то

рассматриваемое решение с изгибом существует лишь при таких достаточно больших нагрузках. Если же то, очевидно, стержень будет оставаться прямым.

Для определения формы стержня далее понадобятся эллиптические функции Якоби. Обратная по отношению к функция называется амплитудой:

Через нее определяются синус, косинус и дельта амплитуды:

Опираясь на (6.5), легко установить правила дифференцирования Теперь можем найти координату х частиц стержня (рис. 23):

Учтено условие

Для определения координаты z воспользуемся соотношениями

Проинтегрируем с учетом условия

В правой части имеем неполный эллиптический интеграл второго рода

Рассмотренное классическое решение достаточно сложно. Но все резко упростится, если предположить малость углов: Это задача на собственные значения [38, 40]. Нетривиальное решение она имеет лишь при некоторых значениях параметров: . Важно, что минимальное значение здесь — это из (6,7),

Теперь обратимся к модели типа Коссера. Соотношения (6.1) сохраняются, но уже не дуговая координата в деформированном состоянии — только в исходном. Угол определяет поворот частицы, но не наклон касательной. Имеем

Здесь принято в соотношениях упругости; полагая посредством (6.1) и (6.11) получим

Граничные условия те же, что в классической модели. Линеаризируя (6.12), придем к задаче вида (6.10), только на месте будет стоять Считая критической ту минимальную нагрузку, при которой появляется нетривиальное решение, получим квадратное уравнение

Если т. е. жесткость на растяжение больше жесткости на сдвиг то уравнение (6.13) имеет и отрицательный корень. Это означает потерю устойчивости при растяжении; однако не следует забывать, что энергия считается квадратичной формой, и решения за рамками этой аппроксимации могут не соответствовать реальности.