Но из
в сочетании с (6,4) это дает
Здесь — известная специальная функция — неполный эллиптический интеграл первого рода [40]. Полагая
получим уравнение для определения к:
полный эллиптический интеграл первого рода.
Поскольку
то
рассматриваемое решение с изгибом существует лишь при таких достаточно больших нагрузках. Если же
то, очевидно, стержень будет оставаться прямым.
Для определения формы стержня далее понадобятся эллиптические функции Якоби. Обратная по отношению к
функция называется амплитудой:
Через нее определяются синус, косинус и дельта амплитуды:
Опираясь на (6.5), легко установить правила дифференцирования
Теперь можем найти координату х частиц стержня (рис. 23):
Учтено условие
Для определения координаты z воспользуемся соотношениями
Проинтегрируем с учетом условия
В правой части имеем неполный эллиптический интеграл второго рода
Рассмотренное классическое решение достаточно сложно. Но все резко упростится, если предположить малость углов:
Это задача на собственные значения [38, 40]. Нетривиальное решение
она имеет лишь при некоторых значениях параметров:
. Важно, что минимальное значение
здесь — это
из (6,7),
Теперь обратимся к модели типа Коссера. Соотношения (6.1) сохраняются, но
уже не дуговая координата в деформированном состоянии — только в исходном. Угол
определяет поворот частицы, но не наклон касательной. Имеем
Здесь принято
в соотношениях упругости; полагая
посредством (6.1) и (6.11) получим
Граничные условия те же, что в классической модели. Линеаризируя (6.12), придем к задаче вида (6.10), только на месте
будет стоять
Считая критической ту минимальную нагрузку, при которой появляется нетривиальное решение, получим квадратное уравнение
Если
т. е. жесткость на растяжение
больше жесткости на сдвиг
то уравнение (6.13) имеет и отрицательный корень. Это означает потерю устойчивости при растяжении; однако не следует забывать, что энергия считается квадратичной формой, и решения за рамками этой аппроксимации могут не соответствовать реальности.