§ 8. Тензор поворота
Рассмотрим два правых декартовых базиса 
Соотношение между ними вполне определено направляющими косинусами 
Но можно написать и так:
называется тензором поворота.
Компоненты 
в начальном и в повернутом базисах образуют одну и ту же матрицу, равную транспонированной матрице косинусов:
Третий инвариант (детерминант, определитель)
Важное свойство тензора поворота выражается равенством
т. е. 
обратный тензор. Но не только тензоры поворота обладают таким свойством. Если в (8.1) один из базисов правый, а другой левый, получим комбинацию поворота с отражением; при этом будет 
Любой тензор второго ранга имеет по крайней мере одно вещественное главное значение (корень 
Для тензора поворота оно 
Соответствующая главная ось называется осью поворота; известная теорема Эйлера в том и состоит, что такая ось существует. Если 
— орт этой оси, 
величина угла поворота, то
Доказывается эта формула так. На оси поворота 
в перпендикулярной плоскости 
Пусть теперь тензор поворота есть функция времени: 
. В этом случае можно ввести вектор угловой скорости 
следующим образом. Продифференцируем тождество (8.3) по времени:
Тензор 
оказался антисимметричным, и в соответствии с (6.2) его можно представить в виде 
Значит,
Помимо этого общего представления, вектор 
допускает и другие. Подставив (8.4) в (8.5), получим
Здесь вектор со разложен по трем взаимно перпендикулярным направлениям 
При неподвижной оси поворота приходим к простейшему 
Еще одно представление со связано с его компонентами (8.2). Поскольку 
и
Отметим и формулы
Далее повсеместно будет использоваться сходная с дифференцированием операция варьирования. Не отсылая читателя к курсам вариационного исчисления, ограничимся представлением о вариации 
величины х как о задаваемом нами бесконечно малом приращении, совместимом с ограничениями — связями. Если ограничений для х нет, то 
произвольна. Но когда 
функция независимого аргумента у, следует считать 
В записях с вариациями действуют те же правила, что и с дифференциалами. Если, например, 
вариации х 
конечные величины, то следует писать 
а не 
даже когда 
не является вариацией величины 
в этом случае 
это единое обозначение. Разумеется, при 
сумма 
будет вариацией некой 
Варьируя тождество (8.3), получим 
Этот тензор антисимметричен, и потому выражается через свой сопутствующий вектор 
Приходим к соотношениям
полностью аналогичным (8.5). Вектор малого поворота 
нельзя считать “вариацией о”, это единый символ (в отличие от 
Малый поворот определяется вектором 
но конечный поворот также допускает векторное представление: согласно (8.4), вся информация о тензоре 
заключена в векторе 
Когда за одним поворотом следует другой, их векторы не складываются в результирующем повороте. Однако это не лишает их векторного характера.
