§ 8. Тензор поворота

Рассмотрим два правых декартовых базиса Соотношение между ними вполне определено направляющими косинусами Но можно написать и так:

называется тензором поворота.

Компоненты в начальном и в повернутом базисах образуют одну и ту же матрицу, равную транспонированной матрице косинусов:

Третий инвариант (детерминант, определитель)

Важное свойство тензора поворота выражается равенством

т. е. обратный тензор. Но не только тензоры поворота обладают таким свойством. Если в (8.1) один из базисов правый, а другой левый, получим комбинацию поворота с отражением; при этом будет

Любой тензор второго ранга имеет по крайней мере одно вещественное главное значение (корень Для тензора поворота оно Соответствующая главная ось называется осью поворота; известная теорема Эйлера в том и состоит, что такая ось существует. Если — орт этой оси, величина угла поворота, то

Доказывается эта формула так. На оси поворота в перпендикулярной плоскости

Пусть теперь тензор поворота есть функция времени: . В этом случае можно ввести вектор угловой скорости следующим образом. Продифференцируем тождество (8.3) по времени:

Тензор оказался антисимметричным, и в соответствии с (6.2) его можно представить в виде Значит,

Помимо этого общего представления, вектор допускает и другие. Подставив (8.4) в (8.5), получим

Здесь вектор со разложен по трем взаимно перпендикулярным направлениям При неподвижной оси поворота приходим к простейшему

Еще одно представление со связано с его компонентами (8.2). Поскольку и

Отметим и формулы

Далее повсеместно будет использоваться сходная с дифференцированием операция варьирования. Не отсылая читателя к курсам вариационного исчисления, ограничимся представлением о вариации величины х как о задаваемом нами бесконечно малом приращении, совместимом с ограничениями — связями. Если ограничений для х нет, то произвольна. Но когда функция независимого аргумента у, следует считать

В записях с вариациями действуют те же правила, что и с дифференциалами. Если, например, вариации х конечные величины, то следует писать а не даже когда не является вариацией величины в этом случае это единое обозначение. Разумеется, при сумма будет вариацией некой

Варьируя тождество (8.3), получим Этот тензор антисимметричен, и потому выражается через свой сопутствующий вектор Приходим к соотношениям

полностью аналогичным (8.5). Вектор малого поворота нельзя считать “вариацией о”, это единый символ (в отличие от

Малый поворот определяется вектором но конечный поворот также допускает векторное представление: согласно (8.4), вся информация о тензоре заключена в векторе Когда за одним поворотом следует другой, их векторы не складываются в результирующем повороте. Однако это не лишает их векторного характера.