§ 13. Внутренние связи
В предшествующем изложении деформация считалась свободной, тензор С мог принять любые значения. Однако существуют материалы со значительным сопротивлением некоторым видам деформации.
Резина, например, изменению формы сопротивляется намного слабее, чем изменению объема — можно считать некоторые виды резины несжимаемым материалом.
Понятие геометрической связи, развитое в общей механике (§ 2.5), переносится в механику сплошной среды. Формально связь можно выразить уравнениями [50,103]
Вместо тензора деформации С в случае больших перемещений проще взять меру Коши-Грина G.
Рассматривая только упругие материалы, будем по-прежнему опираться на следствие принципа виртуальной работы (9.4)
Это вариационное уравнение с ограничением (13.1). Стандартным приемом в таких случаях является введение множителей Лагранжа. Поскольку связь представлена одним скалярным уравнением, достаточно одного множителя X (функции места):
В этом соотношении
есть сумма двух слагаемых: “определяемого” (по П(С)) и “реактивного” (с
) [50]. Виртуальная работа реактивной части
равна нулю:
— обобщение на сплошную среду основного свойства идеальных связей из общей механики (2.3.3).
Рассмотрим два примера.
Нерастяжимый в одном направлении материал. Имеется в виду материал, армированный нерастяжимыми нитями в направлении с ортом
При достаточной плотности армирования возникает некая гомогенизация — получается однородный материал, нерастяжимый в направлении
(в отсчетной конфигурации). Очевидное уравнение связи таково
Из общего выражения
получим
Здесь
орт нерастяжимого направления в актуальной конфигурации. Тензор реактивных напряжений “имеет лишь одну компоненту” — по
Несжимаемый материал. Из соотношений
следует уравнение связи в несжимаемом материале
Локальное следствие принципа виртуальной работы (13.2) преобразуется (с введением множителя Лагранжа) так:
Тензор реактивных напряжений оказался шаровым — как в гидростатике с давлением
Разумеется, в
Остановимся на самых известных представлениях потенциала для несжимаемого материала [50, 113].
Материал Муни имеет следующий потенциал с двумя константами
Напряжение находим по формулам (13.7) и (10.8)
Отметим выражения инвариантов через главные значения
тензора
Отсюда можно вывести, что потенциал Муни положителен при любых положительных с и
[50].
Полагая в
придем к материалу Трелоара. Внешняя простота присуща потенциалу Бертенева и Хазановича
В специальных монографиях [50,113] описаны и другие представления потенциала.