§ 13. Внутренние связи

В предшествующем изложении деформация считалась свободной, тензор С мог принять любые значения. Однако существуют материалы со значительным сопротивлением некоторым видам деформации.

Резина, например, изменению формы сопротивляется намного слабее, чем изменению объема — можно считать некоторые виды резины несжимаемым материалом.

Понятие геометрической связи, развитое в общей механике (§ 2.5), переносится в механику сплошной среды. Формально связь можно выразить уравнениями [50,103]

Вместо тензора деформации С в случае больших перемещений проще взять меру Коши-Грина G.

Рассматривая только упругие материалы, будем по-прежнему опираться на следствие принципа виртуальной работы (9.4)

Это вариационное уравнение с ограничением (13.1). Стандартным приемом в таких случаях является введение множителей Лагранжа. Поскольку связь представлена одним скалярным уравнением, достаточно одного множителя X (функции места):

В этом соотношении есть сумма двух слагаемых: “определяемого” (по П(С)) и “реактивного” (с ) [50]. Виртуальная работа реактивной части равна нулю:

— обобщение на сплошную среду основного свойства идеальных связей из общей механики (2.3.3).

Рассмотрим два примера.

Нерастяжимый в одном направлении материал. Имеется в виду материал, армированный нерастяжимыми нитями в направлении с ортом При достаточной плотности армирования возникает некая гомогенизация — получается однородный материал, нерастяжимый в направлении (в отсчетной конфигурации). Очевидное уравнение связи таково

Из общего выражения получим

Здесь орт нерастяжимого направления в актуальной конфигурации. Тензор реактивных напряжений “имеет лишь одну компоненту” — по

Несжимаемый материал. Из соотношений следует уравнение связи в несжимаемом материале

Локальное следствие принципа виртуальной работы (13.2) преобразуется (с введением множителя Лагранжа) так:

Тензор реактивных напряжений оказался шаровым — как в гидростатике с давлением

Разумеется, в Остановимся на самых известных представлениях потенциала для несжимаемого материала [50, 113].

Материал Муни имеет следующий потенциал с двумя константами

Напряжение находим по формулам (13.7) и (10.8)

Отметим выражения инвариантов через главные значения тензора

Отсюда можно вывести, что потенциал Муни положителен при любых положительных с и [50].

Полагая в придем к материалу Трелоара. Внешняя простота присуща потенциалу Бертенева и Хазановича

В специальных монографиях [50,113] описаны и другие представления потенциала.