§ 5. Классическая модель Кирхгофа
До сих пор функции 
были произвольны и независимы. В классической теории Кирхгофа существует внутренняя связь
Вспоминая смысл вектора 
заключаем: стержень нерастяжим, а поперечные сдвиги отсутствуют. Если орт 
в начальном состоянии был направлен по касательной к оси, он останется на ней и после деформации; частицы поворачиваются лишь вместе с касательной и вокруг нее.
Уравнения баланса и сил моментов (импульса и момента импульса) не изменятся от введения связи (5.1). Но локальное вариационное соотношение (4.3) станет короче:
При квадратичной аппроксимации энергии будем иметь
Располагая полной системой уравнений классической теории Кирхгофа, рассмотрим далее частный случай — статику прямого 
стержня без начальных моментов 
Имеем
Но такие же уравнения описывают динамику твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной точки: 
выступает в роли момента импульса, 
в роли времени, а — тензора инерции, 
угловой скорости; тело нагружено моментом 
и сосредоточенной силой 
в точке с радиус-вектором 
. Такая аналогия статики стержней и динамики твердого тела носит имя Кирхгофа.
Классические решения в динамике твердого тела переносятся на статику стержней; при 
имеем случай Эйлера, а 
соответствуют случаю Лагранжа.
Однако некоторые задачи нелинейной статики стержней решаются проще, чем аналогичные задачи динамики твердого тела. Пусть касательная к оси 
является главной осью тензора жесткости а и совпадают жесткости на изгиб 
Тогда
- Если 
(стержень нагружен лишь моментами на концах), получим уравнение с постоянными коэффициентами, решение которого соответствует винтовой линии:
Здесь две вещественные произвольные константы 
и две комплексные 
Они определяются граничными условиями. Пусть на конце 
стержень защемлен, и касательная при этом образует угол а с вектором 
Винтовая линия проецируется на плоскость 
как окружность радиуса 
а шаг винта равен 
В некоторых задачах ось стержня неподвижна — частицы поворачиваются лишь вокруг касательной (с ортом 
на угол 
Тогда эффективна формула (2.8.6):
Такая ситуация возникает, например, при вращении гибкого стержня в жесткой трубке-оболочке [74]. Подставив (5.7) в соотношение
упругости 
и обращаясь далее к уравению баланса моментов, получим обыкновенное уравнение для 
