Глава 6. ТЕРМОУПРУГОСТЬ
§ 1. Первый закон термодинамики
До сих пор мы ограничивались рамками механики и не рассматривали тепловые эффекты. Общеизвестно, однако, что изменение температуры вызывает деформацию тел. Температурные деформации и обусловленные ими напряжения часто играют первостепенную роль и могут приводить к разрушению конструкций.
Принцип виртуальной работы, столь эффективной в механике, не имеет места в термомеханике (хотя ниже мы увидим аналог этого принципа). Вводя в рассмотрение температуру, можно опираться на два закона термодинамики.
Первый закон, открытый Джоулем, Майером и Гельмгольцем, — это закон баланса энергии: скорость изменения энергии системы равна сумме мощности внешних сил и скорости подвода тепла:
Применяя это равенство к материальному объему среды (безмо-ментной — только такая модель рассматривается в главе), можем сразу написать выражение мощности внешних сил
Обозначения те же, что и в гл. 3: 
скорость, 
тензор скоростей деформации. Учтена симметрия 
Энергия материального объема
где 
некая внутренняя энергия на единицу массы.
Дифференцируя 
по правилу (3.2.8), получим
где 
материальная производная, т. е. 
Тепло поступает в объем двумя путями. Первый — теплопроводность, определяемая вектором потока тепла 
Предполагается, что через площадку 
в единицу времени проходит (в направлении N) “тепловая энергия” 
Для площадки конечных размеров необходимо проинтегрировать это выражение. Обычно полагают
где 
температура; 
тензор коэффициентов теплопроводности (в изотропной среде 
Второй путь передачи тепла — объемное тепловыделение. Оно имеет место при проникающем нагреве излучением и при некоторых химических реакциях. Скорость тепловыделения на единицу массы 
считается заданным воздействием. Приходим к представлению
Подставив (1.2), (1.4) и (1.6) в (1.1), получим равенство интегралов по объему. Но поскольку объем произволен, должны совпадать подынтегральные выражения
Часть слагаемых здесь сокращается согласно уравнению баланса импульса. Остается
— уравнение баланса энергии в локальной форме.
Все слагаемые в (1.7) естественны и понятны. Первое в правой части — мощность напряжений на единицу объема, второе — приток энергии посредством теплопроводности, о третьем уже говорилось.
