Глава 13. УСТОЙЧИВОСТЬ

§ 1. Различные подходы к проблеме устойчивости

Существует классическая, хорошо развитая теория устойчивости движения [58]. По Ляпунову, процесс устойчив, если малые начальные отклонения остаются малыми и в будущем. Это относится и к состоянию равновесия. Следует рассмотреть динамику малых отклонений от равновесной конфигурации и убедиться, что они не растут. В этом состоит динамический подход к задачам устойчивости, и он справедливо считается наиболее достоверным.

Однако в задачах устойчивости равновесия упругих систем получил распространение иной подход, называемый статическим и связываемый с именем Эйлера. При этом критическими считаются те значения параметров, при которых уравнения статики для малых отклонений приобретают нетривиальное решение. Иными словами критическим считается то равновесное состояние, которое перестает быть изолированным, — в его окрестности появляется множество смежных равновесных форм. При таком подходе достаточно решить соответствующую задачу на собственные значения.

Но есть и другие подходы — например, метод несовершенств. Если малые произвольные изменения начальной формы, жесткостей, нагрузок и другие приводят лишь к малому изменению равновесного деформированного состояния, то имеем устойчивость. Отметим также энергетический подход: потеря устойчивости происходит, когда она становится энергетически выгодной, т. е. ведет к уменьшению энергии.

Перечисленные подходы составляют пеструю картину. Однако в ней нетрудно разобраться на модели с конечным числом степеней свободы. Большой общностью обладают следующие уравнения Лагранжа:

Здесь столбец обобщенных координат; А — постоянная матрица кинетической энергии, симметричная и положительная; столбец обобщенных сил; параметр нагрузки.

В положении равновесия

это зависимость равновесной конфигурации от нагрузки.

Малые приращения нагрузки и координат связаны равенством

Если , равновесное состояние изолировано — при фиксированной нагрузке существует лишь тривиальное решение Смежные формы равновесия появляются при уравнение

будет иметь тогда нетривиальные решения. Вблизи этого критического состояния имеем большие отклонения при малом возмущении нагрузки. Такова суть подхода Эйлера к определению критических параметров:

Рассмотрим теперь динамику малых отклонений. Линеаризуя (варьируя) (1.1) при постоянной нагрузке, получим

Общее решение этого уравнения — линейная комбинация из где определяются задачей на собственные значения

Если хоть одно из собственных значений находится в правой полуплоскости, положение равновесия неустойчиво.

Ограничимся пока консервативными системами (см. § 2.5). Для них

симметричная матрица, положительная при достаточно малой нагрузке Из симметрии С следует, что все вещественны. При имеем квадраты собственных частот линейной системы.

С ростом меняются, оставаясь на мнимой оси. При критической нагрузке два собственных значения А и —А сливаются в точке 0, расходясь далее влево и вправо по вещественной оси.

Появление нулевого собственного числа при потере устойчивости означает нетривиальную разрешимость уравнения статики (1.4). Это означает, что для консервативных систем статический подход к устойчивости эквивалентен динамическому.

В реальных системах всегда есть демпфирование. Диссипативные силы изучены несравненно менее упругих, их зависимость от движения бывает весьма сложной. Для качественных оценок ограничимся линейной моделью малого трения. Тогда вместо (1.5) и (1.6) будем иметь

где В — симметричная и положительная матрица диссипативных сил; А — малый параметр. Асимптотическое решение задачи на собственные значения (1.8) таково:

Все собственные числа сдвинулись влево. Если без диссипативных сил система была устойчива, то теперь она стала асимптотически устойчивой — это теорема Томсона и Тета [58]. Учет диссипативных сил не

является необходимым в задачах устойчивости с симметричной матрицей позиционных сил Принципиально иная ситуация в неконсервативных системах, где

Итак, определение критических нагрузок статическим методом состоит из двух этапов: решения задачи нелинейной статики (1.2) (находим состояние перед варьированием) и выявление по нетривиальной разрешимости однородной задачи (1.4). Для реализации такого подхода необходима полная нелинейная статическая теория и соответствующие ей уравнения в вариациях. Выше необходимый аппарат представлен для двух моделей упругих тел: трехмерной безмоментной и одномерной стержневой Наиболее важны задачи устойчивости стержней — и они наименее трудоемки.