Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Глава 13. УСТОЙЧИВОСТЬ§ 1. Различные подходы к проблеме устойчивостиСуществует классическая, хорошо развитая теория устойчивости движения [58]. По Ляпунову, процесс устойчив, если малые начальные отклонения остаются малыми и в будущем. Это относится и к состоянию равновесия. Следует рассмотреть динамику малых отклонений от равновесной конфигурации и убедиться, что они не растут. В этом состоит динамический подход к задачам устойчивости, и он справедливо считается наиболее достоверным. Однако в задачах устойчивости равновесия упругих систем получил распространение иной подход, называемый статическим и связываемый с именем Эйлера. При этом критическими считаются те значения параметров, при которых уравнения статики для малых отклонений приобретают нетривиальное решение. Иными словами критическим считается то равновесное состояние, которое перестает быть изолированным, — в его окрестности появляется множество смежных равновесных форм. При таком подходе достаточно решить соответствующую задачу на собственные значения. Но есть и другие подходы — например, метод несовершенств. Если малые произвольные изменения начальной формы, жесткостей, нагрузок и другие приводят лишь к малому изменению равновесного деформированного состояния, то имеем устойчивость. Отметим также энергетический подход: потеря устойчивости происходит, когда она становится энергетически выгодной, т. е. ведет к уменьшению энергии. Перечисленные подходы составляют пеструю картину. Однако в ней нетрудно разобраться на модели с конечным числом степеней свободы. Большой общностью обладают следующие уравнения Лагранжа:
Здесь В положении равновесия
это зависимость равновесной конфигурации от нагрузки. Малые приращения нагрузки
будет иметь тогда нетривиальные решения. Вблизи этого критического состояния имеем большие отклонения Рассмотрим теперь динамику малых отклонений. Линеаризуя (варьируя) (1.1) при постоянной нагрузке, получим
Общее решение этого уравнения — линейная комбинация из
Если хоть одно из собственных значений Ограничимся пока консервативными системами (см. § 2.5). Для них
симметричная матрица, положительная при достаточно малой нагрузке С ростом Появление нулевого собственного числа при потере устойчивости означает нетривиальную разрешимость уравнения статики (1.4). Это означает, что для консервативных систем статический подход к устойчивости эквивалентен динамическому. В реальных системах всегда есть демпфирование. Диссипативные силы изучены несравненно менее упругих, их зависимость от движения бывает весьма сложной. Для качественных оценок ограничимся линейной моделью малого трения. Тогда вместо (1.5) и (1.6) будем иметь
где В — симметричная и положительная матрица диссипативных сил; А — малый параметр. Асимптотическое решение задачи на собственные значения (1.8) таково:
Все собственные числа сдвинулись влево. Если без диссипативных сил система была устойчива, то теперь она стала асимптотически устойчивой — это теорема Томсона и Тета [58]. Учет диссипативных сил не является необходимым в задачах устойчивости с симметричной матрицей позиционных сил Итак, определение критических нагрузок статическим методом состоит из двух этапов: решения задачи нелинейной статики (1.2) (находим состояние перед варьированием) и выявление
|
1 |
Оглавление
|