Главная > Механика упругих тел
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

Глава 13. УСТОЙЧИВОСТЬ

§ 1. Различные подходы к проблеме устойчивости

Существует классическая, хорошо развитая теория устойчивости движения [58]. По Ляпунову, процесс устойчив, если малые начальные отклонения остаются малыми и в будущем. Это относится и к состоянию равновесия. Следует рассмотреть динамику малых отклонений от равновесной конфигурации и убедиться, что они не растут. В этом состоит динамический подход к задачам устойчивости, и он справедливо считается наиболее достоверным.

Однако в задачах устойчивости равновесия упругих систем получил распространение иной подход, называемый статическим и связываемый с именем Эйлера. При этом критическими считаются те значения параметров, при которых уравнения статики для малых отклонений приобретают нетривиальное решение. Иными словами критическим считается то равновесное состояние, которое перестает быть изолированным, — в его окрестности появляется множество смежных равновесных форм. При таком подходе достаточно решить соответствующую задачу на собственные значения.

Но есть и другие подходы — например, метод несовершенств. Если малые произвольные изменения начальной формы, жесткостей, нагрузок и другие приводят лишь к малому изменению равновесного деформированного состояния, то имеем устойчивость. Отметим также энергетический подход: потеря устойчивости происходит, когда она становится энергетически выгодной, т. е. ведет к уменьшению энергии.

Перечисленные подходы составляют пеструю картину. Однако в ней нетрудно разобраться на модели с конечным числом степеней свободы. Большой общностью обладают следующие уравнения Лагранжа:

Здесь столбец обобщенных координат; А — постоянная матрица кинетической энергии, симметричная и положительная; столбец обобщенных сил; параметр нагрузки.

В положении равновесия

это зависимость равновесной конфигурации от нагрузки.

Малые приращения нагрузки и координат связаны равенством

Если , равновесное состояние изолировано — при фиксированной нагрузке существует лишь тривиальное решение Смежные формы равновесия появляются при уравнение

будет иметь тогда нетривиальные решения. Вблизи этого критического состояния имеем большие отклонения при малом возмущении нагрузки. Такова суть подхода Эйлера к определению критических параметров:

Рассмотрим теперь динамику малых отклонений. Линеаризуя (варьируя) (1.1) при постоянной нагрузке, получим

Общее решение этого уравнения — линейная комбинация из где определяются задачей на собственные значения

Если хоть одно из собственных значений находится в правой полуплоскости, положение равновесия неустойчиво.

Ограничимся пока консервативными системами (см. § 2.5). Для них

симметричная матрица, положительная при достаточно малой нагрузке Из симметрии С следует, что все вещественны. При имеем квадраты собственных частот линейной системы.

С ростом меняются, оставаясь на мнимой оси. При критической нагрузке два собственных значения А и —А сливаются в точке 0, расходясь далее влево и вправо по вещественной оси.

Появление нулевого собственного числа при потере устойчивости означает нетривиальную разрешимость уравнения статики (1.4). Это означает, что для консервативных систем статический подход к устойчивости эквивалентен динамическому.

В реальных системах всегда есть демпфирование. Диссипативные силы изучены несравненно менее упругих, их зависимость от движения бывает весьма сложной. Для качественных оценок ограничимся линейной моделью малого трения. Тогда вместо (1.5) и (1.6) будем иметь

где В — симметричная и положительная матрица диссипативных сил; А — малый параметр. Асимптотическое решение задачи на собственные значения (1.8) таково:

Все собственные числа сдвинулись влево. Если без диссипативных сил система была устойчива, то теперь она стала асимптотически устойчивой — это теорема Томсона и Тета [58]. Учет диссипативных сил не

является необходимым в задачах устойчивости с симметричной матрицей позиционных сил Принципиально иная ситуация в неконсервативных системах, где

Итак, определение критических нагрузок статическим методом состоит из двух этапов: решения задачи нелинейной статики (1.2) (находим состояние перед варьированием) и выявление по нетривиальной разрешимости однородной задачи (1.4). Для реализации такого подхода необходима полная нелинейная статическая теория и соответствующие ей уравнения в вариациях. Выше необходимый аппарат представлен для двух моделей упругих тел: трехмерной безмоментной и одномерной стержневой Наиболее важны задачи устойчивости стержней — и они наименее трудоемки.

1
Оглавление
email@scask.ru