Глава 17. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ

§ 1. Одномерная задача

В одномерной задаче статики имеем уравнение

Жесткость А — периодическая и быстроменяющаяся функция координаты:

Величина XI — это длина ячейки периодичности. Отмечая ее малость, вспомним о разных масштабах в композитах (§ 16.1). Ячейка периодичности, однако, не является представительным объемом. Периодические структуры — не частный случай композитов, а нечто особое. Для них найдено замечательное асимптотическое решение, связываемое с именами Н. С. Бахвалова, Ж. Лионса, Б. Е. Победри и других авторов [5, 80, 119].

Асимптотический метод расчета периодических структур является комбинацией процедур многих масштабов и Крылова-Боголюбова . Решение (1.1) ищется в виде

Последнее равенство очень важно: все члены разложения периодичны по Расщепляя оператор дифференцирования, перепишем (1.1):

Подставим сюда (1.3) и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях

На первом шаге (с членами порядка имеем

Приходим к важному результату: главный член «0 не зависит от “быстрой” координаты. Это напоминает эффективное поле (§ 16.2); быстроменяющиеся флюктуации перемещения оказываются в поправочных членах.

Второй шаг дает

Найдена локальная структура решения в ячейке периодичности. Существенная быстроменяющаяся добавка к пропорциональна градиенту эффективного поля и определяется функцией Слагаемое не представляет интереса — в нем лишь малая поправка к Но благодаря можно ввести в аддитивную константу так, чтобы стало впрочем, в этом нет необходимости.

Третий шаг делается ради окончательного определения из неких условий разрешимости. Необходимость его ясна и потому, что лишь здесь появляются силы Из (1.4) следует

Воспользуемся далее периодичностью (по ?):

Получили уравнение для эффективного поля и выражение эффективной жесткости А. Имеем простое осреднение податливости В — так и должно быть при “последовательном соединении”.

Итак, исходная задача для неоднородной среды расщепилась на две (вспомним § 7.2) Первая — на ячейке периодичности для

вторая — (1.7). Перед решением второй задачи определяется эффективный модуль.

Положение о важности и второстепенности не вполне справедливо. Рассмотрим напряжение

Первое слагаемое исчезло, и поправка вошла в главный член разложения о.

Такова асимптотическая процедура (Лионса-Бахвалова) для одномерной задачи в перемещениях. Но можно упростить ее, отталкиваясь от системы

Расщепляя оператор дифференцирования и представляя о и и рядами, получим

Отсюда (с учетом периодичности по следует

— совпадает с прежним. Локальную структуру можно также найти из (1.9).