§ 4. Второй шаг

Внешнее разложение. Из системы (2.7) для первых поправочных членов, сохраняя буквенные указатели уравнений, имеем

Это уравнения первого порядка. Из условий разрешимости вида учитывая (3.2), получим

Привлекая найденные при сращивании условия (3.12), будем иметь

Интегрируя теперь в (4.1), придем к равенствам

Уравнения в системе (2.7) позволят определить остальные компоненты тензора напряжений, а также дадут некоторые дополнительные соотношения:

Внутреннее разложение вблизи Из общей системы (2.9) выделим уравнения для первых поправочных членов, отвечающие антиплоской задаче:

Граничные условия:

Опустим промежуточные выкладки и приведем сразу решение поставленной задачи:

Фигурирующие здесь это гармонические в полуполосе функции, равные нулю при а на торце удовлетворяющие условиям

Отметим, что формулы (3.8) теперь можно записать как:

Далее рассмотрим погранслой плоской задачи. Из общей системы (2.9) для членов имеем

Граничные условия: при а при

Но члены с нулевым индексом в (4.10) равны нулю (см. (3.11)). Приходим к той же задаче, которая была в § 3 —

Сращивание. Поскольку рассматриваются поправочные члены асимптотических разложений, следует обратиться к условию Ван Дайка, приведенному в § 7.5. Применение этого условия подробно описано у Найфэ [66].

Начнем с антиплоской задачи. Из (3.2), (4.3) и (4.5) имеем следующее двучленное внешнее разложение:

Выразив через внутреннюю переменную и разложив при получим двучленное внутреннее разложение двучленного внешнего разложения

Имеем также двучленное внутреннее разложение

Здесь не вписаны экспоненциально убывающие члены с функциями Аргументами в (4.14) служат (раньше писали Выразив через внешнюю переменную и разложив при получим двучленное внешнее разложение двучленного внутреннего разложения

Требуя совпадения (4.15) и (4.13), придем к равенствам

Аналогичная процедура для дает следующие результаты

Что же касается условий сращивания для и то они окажутся выполненными в силу предыдущего. Полученных дифференциальных уравнений и граничных условий недостаточно для определения даже главных членов. Поэтому необходимы следующие шаги асимптотической процедуры.