§ 5. Уравнения в перемещениях

Полная система (1.1) содержит неизвестные Исключая приходим к постановке в перемещениях

(симметризация излишняя). По-прежнему под подразумеваем сумму обычной силы и даламберовой силы инерции . В изотропном теле (5.1) принимает вид

В статике общее решение (5.2) может быть представлено суммой общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения. При потенциальных объемных силах частным решением будет потенциальное поле

Достаточно какого-либо частного решения этого уравнения Пуассона. Оно легко находится, например, для однородного поля объемных сил или поля центробежных сил инерции.

П.Ф. Папковичем и Г. Нейбером было найдено общее решение однородного уравнения (5.2) [53]

Здесь перемещение представлено через гармонические вектор В и скаляр В. Уравнение Лапласа хорошо изучено, для него имеется обширный каталог решений — поэтому формула (5.4) весьма полезна.

Докажем (5.4). Гармоническое векторное поле В не удовлетворяет однородному уравнению (5.2), но попробуем “исправить дело” добавкой простейшего слагаемого — потенциального поля:

Последнее слагаемое с С может быть отброшено как содержащееся в поскольку вектор гармонический.

Установив, что (5.4) — решение, мы еще не можем утверждать, что любое решение однородного уравнения (5.2) имеет вид (5.4). Комментарии по этому поводу см. в [53].

В качестве примера рассмотрим сферически-симметричное решение Полагая получим

(множитель, конечно, не нужен). Если же то Линейная комбинация

должна быть общим решением обыкновенного уравнения второго по рядка для и, вытекающего из (5.2). Отсюда, например, легко найти решение задачи Ляме о полом шаре с давлением (что в нелинейной постановке оказалось непросто — см. § 3.13).