§ 2. Дифференцирование

Имея зависимости можно ввести базис взаимный базис и оператор Гамильтона

так что

Если то производная характеризует скорость изменения в каждой конкретной частице и называется материальной производной.

При пространственном описании дифференцирование отличается не только по форме, но и по смыслу. Исходя из представления вводим базис кобазис и набла-оператор

тогда Операторы различны, хотя это может показаться странным.

Производная по времени называется локальной и характеризует скорость процесса в данном месте. Материальная и локальная производные связаны равенством

Доказывается (2.3) так: но за время имеем

В качестве иллюстрации применения введенных операций рассмотрим баланс массы в пространственном описании. В любом фиксированном объеме V пространства масса равна интегралу (1.1) от плотности Очевидно, что поток вектора через замкнутую поверхность с внешней нормалью равен скорости убывания

Преобразуя поверхностный интеграл в объемны и учитывая произвольность V, приходим к уравнению

— закону баланса массы (в локальной дифференциальной форме). Уравнение (2.5) можно записать и так:

если использовать материальную производную (2.3). Ниже мы рассмотрим иной вывод этого уравнения, основанный на равенстве

где плотность и элементарный материальный объем в отсчетной конфигурации (материальный объем движется и деформируется, но набор частиц в нем постоянен).

Пусть какое-либо поле. Рассмотрим скорость изменения интеграла по материальному объему.

(можно сказать есть на единицу массы). Кажущееся сложным вычисление (V деформируется) оказывается элементарным благодаря (2.7):

Не стоит противопоставлять материальное и пространственное описание. Далее будут использоваться оба в зависимости от ситуации.