Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 10. Линейная теорияВ линейной теории внешние воздействия считаются малыми, а отсчетная конфигурация — ненапряженным состоянием покоя. Уравнения в вариациях в этом случае дают
Важно отметить, что коэффициенты здесь — известные функции определяемые лишь начальным состоянием (на месте а, например, в (10.1) стоит из (4.7)). Ясно также, что при переходе к (10.1) мы полагаем в и Мравными нулю, а значок опускаем. Соотношения упругости в (10.1) можно записать так:
Это преобразование Лежандра. Будем пользоваться краткой записью уравнений баланса
включая в нагрузки и соответствующие инерционные члены. Граничные условия к (10.1) разнообразны. На конце могут быть заданы пары: и много других комбинаций (если, например, конец находится в цилиндрическом шарнире, то заданная продольная сила, заданный крутящий момент). Начальные условия традиционны: — заданные функции Корректно поставленная задача линейной динамики имеет не более чем одно решение. Доказательство этой теоремы можно (как и в § 4.2) построить на свойстве суперпозиции и существовании интеграла энергии:
Слева под интегралом имеем
интегрируя по частям подчеркнутые слагаемые и учитывая уравнения баланса сил и моментов, убедимся в справедливости (10.3). Далее отметим, что при отсутствии воздействий полная энергия постоянна — и равна нулю при начальном состоянии покоя. Но квадратичные формы положительны, так что равны нулю их аргументы и 7 — завершение доказательства очевидно. В линейной статике стержней справедливы общие теоремы: Клапейрона, единственности, взаимности работ. Равенство
выражающее теорему Клапейрона, может быть доказано как слева направо, так и наоборот. Отметим, что в (10.4) (и в (10.3)) мы сократили запись вклада на концах: в двойной подстановке имеем
с соответствующими обозначениями нагрузок. Без труда устанавливается и взаимность работ
Теоремы Лагранжа и Кастильяно из статики систем с конечным числом степеней свободы справедливы и для стержней при некоторых оговорках. Пусть стержень нагружен лишь в узлах
(распределенные нагрузки связаны с сосредоточенными обобщенной дельта-функцией). В пролетах нагрузки нет, и равновесное состояние полностью определяется перемещениями и поворотами концов Можно принять набор в качестве обобщенных координат. Соответствующими обобщенными внешними силами служат ; по теореме Лагранжа (2.6.2) имеем
Отметим, что матрица квадратичной формы разрежена, поскольку определяют энергию лишь прилегающих к узлу пролетов. Теорема Кастильяно выводится из (10.7) преобразованием Лежандра
Поскольку система линейна, то численно совпадают. Но дополнительная энергия должна быть выражена через внешние нагрузки; это легко достижимо в так называемых статически определимых задачах. В качестве иллюстрации (10.8) рассмотрим стержень произвольной геометрии, защемленный на конце и нагруженный моментом на свободном конце . В этом случае
Очень популярен в статике стержней интеграл Мора. Его можно вывести из теоремы взаимности работ. Пусть, например, стержень защемлен на концах, нагружен силами и моментами и надо найти перемещение в точке по направлению орта Оно равно
где вызваны нагрузкой Применяя теорему взаимности, сразу имеем Докажем, что правая часть (10.10) равна и т.д.):
Вычисления по формуле Мора (10.10) эффективны в статически определимых задачах, когда находятся без рассмотрения деформаций. Очень важно отметить, что уравнения линейной статики интегрируются в квадратурах:
Произвольные константы и другие определяются граничными условиями. Легкость интегрирования исчезает, если руководствоваться уравнениями в компонентах:
Это система дифференциальных уравнений с переменными, вообще говоря, коэффициентами. Иногда коэффициенты постоянны (например, для кругового кольца) и тогда уравнения в компонентах могут быть полезны. Заканчивая обзор основных положений линейной статики стержней, обратимся к вариационным принципам. Лежащий в основе нелинейной теории принцип виртуальной работы остается справедливым и в линейном приближении. Он переходит в принцип минимума потенциальной энергии системы:
Функции и и 0 должны при этом удовлетворять заданным геометрическим связям (граничным условиям). Если на свободном конце приложены нагрузки, то к выражению (10.12) должны добавляться внеинтегральные слагаемые — или же в следует ввести Но при заданных на концах достаточно (10.12). Легко показать, что на истинном решении Можно убедиться в справедливости (10.12) и непосредственно:
(использованы соотношения - при интегрировании по частям учтены граничные условия на Справедлив и принцип минимума дополнительной работы. При заданных на концах функционал
имеет минимум на истинных если рассматривать его лишь при удовлетворенных уравнениях баланса сил и моментов. Заметим, что множество допустимых это двухпараметрическое семейство, так что функционал превращается в функцию, а принцип сводится к теореме Кастильяно. Смешанный принцип типа Рейсснера в случае граничных условий формулируется так:
Отсюда вытекают уравнения баланса сил и моментов, соотношения упругости, а также все граничные условия. Вариационные уравнения (10.12) и (10.14) справедливы и в динамике, где содержат неварьируемые инерционные добавки. Разыскивая приближенное решение вариационного уравнения виртуальной работы
где заданы, получим для и систему обыкновенных уравнений. Разумеется, аппроксимации должны удовлетворять геометрическим условиям; если последние неоднородны, следует ввести в (10.15) дополнительные слагаемые. Изложенное относится к модели типа Коссера, где не связано с . В классической модели с условием все положения должны перепроверяться.
|
1 |
Оглавление
|