§ 10. Линейная теория

В линейной теории внешние воздействия считаются малыми, а отсчетная конфигурация — ненапряженным состоянием покоя. Уравнения в вариациях в этом случае дают

Важно отметить, что коэффициенты здесь — известные функции определяемые лишь начальным состоянием (на месте а, например, в (10.1) стоит из (4.7)). Ясно также, что при переходе к (10.1) мы полагаем в и Мравными нулю, а значок опускаем.

Соотношения упругости в (10.1) можно записать так:

Это преобразование Лежандра.

Будем пользоваться краткой записью уравнений баланса

включая в нагрузки и соответствующие инерционные члены.

Граничные условия к (10.1) разнообразны. На конце могут быть заданы пары: и много других комбинаций (если, например, конец находится в цилиндрическом шарнире, то заданная продольная сила, заданный крутящий момент). Начальные условия традиционны: — заданные функции

Корректно поставленная задача линейной динамики имеет не более чем одно решение. Доказательство этой теоремы можно (как и в § 4.2) построить на свойстве суперпозиции и существовании интеграла энергии:

Слева под интегралом имеем

интегрируя по частям подчеркнутые слагаемые и учитывая уравнения баланса сил и моментов, убедимся в справедливости (10.3). Далее отметим, что при отсутствии воздействий полная энергия постоянна — и равна нулю при начальном состоянии покоя. Но квадратичные формы положительны, так что равны нулю их аргументы и 7 — завершение доказательства очевидно.

В линейной статике стержней справедливы общие теоремы: Клапейрона, единственности, взаимности работ. Равенство

выражающее теорему Клапейрона, может быть доказано как слева направо, так и наоборот. Отметим, что в (10.4) (и в (10.3)) мы сократили запись вклада на концах: в двойной подстановке имеем

с соответствующими обозначениями нагрузок.

Без труда устанавливается и взаимность работ

Теоремы Лагранжа и Кастильяно из статики систем с конечным числом степеней свободы справедливы и для стержней при некоторых

оговорках. Пусть стержень нагружен лишь в узлах

(распределенные нагрузки связаны с сосредоточенными обобщенной дельта-функцией). В пролетах нагрузки нет, и равновесное состояние полностью определяется перемещениями и поворотами концов Можно принять набор в качестве обобщенных координат.

Соответствующими обобщенными внешними силами служат ; по теореме Лагранжа (2.6.2) имеем

Отметим, что матрица квадратичной формы разрежена, поскольку определяют энергию лишь прилегающих к узлу пролетов.

Теорема Кастильяно выводится из (10.7) преобразованием Лежандра

Поскольку система линейна, то численно совпадают. Но дополнительная энергия должна быть выражена через внешние нагрузки; это легко достижимо в так называемых статически определимых задачах.

В качестве иллюстрации (10.8) рассмотрим стержень произвольной геометрии, защемленный на конце и нагруженный моментом на свободном конце . В этом случае

Очень популярен в статике стержней интеграл Мора. Его можно вывести из теоремы взаимности работ. Пусть, например, стержень защемлен на концах, нагружен силами и моментами и надо найти перемещение в точке по направлению орта Оно равно

где вызваны нагрузкой

Применяя теорему взаимности, сразу имеем Докажем, что правая часть (10.10) равна и т.д.):

Вычисления по формуле Мора (10.10) эффективны в статически определимых задачах, когда находятся без рассмотрения деформаций.

Очень важно отметить, что уравнения линейной статики интегрируются в квадратурах:

Произвольные константы и другие определяются граничными условиями. Легкость интегрирования исчезает, если руководствоваться уравнениями в компонентах:

Это система дифференциальных уравнений с переменными, вообще говоря, коэффициентами. Иногда коэффициенты постоянны (например, для кругового кольца) и тогда уравнения в компонентах могут быть полезны.

Заканчивая обзор основных положений линейной статики стержней, обратимся к вариационным принципам. Лежащий в основе нелинейной теории принцип виртуальной работы остается справедливым и в линейном приближении. Он переходит в принцип минимума потенциальной энергии системы:

Функции и и 0 должны при этом удовлетворять заданным геометрическим связям (граничным условиям). Если на свободном конце приложены нагрузки, то к выражению (10.12) должны добавляться внеинтегральные слагаемые — или же в следует ввести Но при заданных на концах достаточно (10.12). Легко показать, что на истинном решении Можно убедиться в справедливости (10.12) и непосредственно:

(использованы соотношения - при интегрировании по частям учтены граничные условия на

Справедлив и принцип минимума дополнительной работы. При заданных на концах функционал

имеет минимум на истинных если рассматривать его лишь при удовлетворенных уравнениях баланса сил и моментов. Заметим, что множество допустимых это двухпараметрическое семейство, так что функционал превращается в функцию, а принцип сводится к теореме Кастильяно.

Смешанный принцип типа Рейсснера в случае граничных условий формулируется так:

Отсюда вытекают уравнения баланса сил и моментов, соотношения упругости, а также все граничные условия.

Вариационные уравнения (10.12) и (10.14) справедливы и в динамике, где содержат неварьируемые инерционные добавки. Разыскивая приближенное решение вариационного уравнения виртуальной работы

где заданы, получим для и систему обыкновенных уравнений. Разумеется, аппроксимации должны удовлетворять геометрическим условиям; если последние неоднородны, следует ввести в (10.15) дополнительные слагаемые.

Изложенное относится к модели типа Коссера, где не связано с . В классической модели с условием все положения должны перепроверяться.