§ 3. Действия над тензорами

Этих действий четыре. Первое объединяет в себе сложение и умножение на число. Субъекты действия и результат — одинакового ранга. Для тензоров второго ранга действие выглядит так:

Здесь к и скаляры; тензоры второго ранга. Легко показать, что для выполняется правило (2.1), т. е. результатом действия является тензор.

Второе действие — умножение. Ранги сомножителей произвольны, произведение имеет суммарный ранг. Примеры:

Рассмотрев преобразование совокупностей при переходе к новому базису, убеждаемся, что это действительно компоненты тензоров. Простейший пример умножения — диадное произведение векторов.

Третье действие называется сверткой. Это действие над одним тензором, других “участников” нет. В результате свертки ранг тензора уменьшается на два. Грубо говоря, свертка состоит в суммировании компонент по какой-либо паре индексов. Для тензора третьего ранга например, возможны следующие варианты свертки, приводящие к векторам

При повороте базиса имеем

что доказывает тензорный характер результата свертки.

Для тензора второго ранга возможен лишь один вариант свертки, приводящий к скаляру, называемому первым главным инвариантом или следом тензора

Четвертое действие именуется по-разному: перестановка индексов, жонглирование индексами и др. Из компонент тензора образуется новая совокупность величин с другим порядком индексов, результатом является тензор того же ранга. Из тензора например, можно получить тензоры со следующими компонентами:

Для тензора второго ранга возможна лишь одна перестановка, называемая транспонированием:

Представленные четыре действия можно комбинировать в различных сочетаниях. Особенно часто встречается комбинация умножения и свертки; при этом в инвариантной безындексной записи ставится точка, указывающая на свертку по соответствующим соседним индексам:

В скалярном произведении векторов точка имеет тот же смысл: Отметим свойство единичного тензора

при любом ранге тензора .

Сверка может повторяться: в связи с чем приведем полезные соотношения