§ 6. Асимптотическое расщепление трехмерной задачи изгиба

Двумерная классическая теория изгиба пластин легко выводится из трехмерной постановки с малым параметром. Представив радиус-вектор в объеме получим и тогда дифференциальные уравнения в напряжениях примут вид

Плоскости не нагружены, на них

Поскольку рассматривается изгиб, то четны по нечетны. Решение имеет вид

Для главных членов — порядка получим

Учитывая граничные условия и характер четности, заключаем

Симметричный тензор пока произволен.

Второй шаг дает уравнения

Отсюда имеем

Подчеркнутое уравнение еще не определяет А.

Необходим третий шаг — только на нем появляются нагрузки Но от этого шага достаточно условий разрешимости:

Таков итог анализа напряжений во внешнем разложении. Чтобы удовлетворить условиям на боковой поверхности необходимо построить внутренние разложения с последующим сращиванием. Тщательный анализ этой части задачи проведен И.И. Боровшем и Гольденвейзером с сотрудниками [20].

Обратимся к перемещениям. Соотношения закона Гука запишем как

Разыскивая решение в виде на первом шаге получим

(учтена нечетность ).

На втором шаге имеем

Выражения полностью соответствуют кинематической гипотезе Кирхгофа.

Третий шаг дает, в частности,

Это соотношение упругости двумерной задачи. Его подстановка в (6.4) приводит к уравнению Жермен-Лагранжа

с классическим значением цилиндрической жесткости.