§ 12. Безмоментная теория

В отличие от пластины, оболочка способна выдерживать нормальную распределенную нагрузку без возникновения внутренних моментов. В безмоментном состоянии напряжения равномерно распределены по толщине оболочки, безмоментные оболочечные конструкции можно считать оптимально спроектированными.

Уравнения безмоментной теории можно получить из системы (5.4), полагая

Перерезывающие силы отсутствуют, тензор сил симметричен, вектор и тензор не нужны.

Сразу можно высказать некоторые необходимые условия применимости безмоментной теории. На границе не должен быть задан прогиб иначе возникнет перерезывающая сила Нельзя задавать (пытаться задавать) поворот — возникнет момент

Формально безмоментная теория вытекает из общей моментной при если ограничиться внешним разложением в методе сращивания (§ 7.5). Внутреннее разложение соответствует уравнениям краевого эффекта [20]. В общем случае нагружения оболочки граничные условия для безмоментной теории являются результатом сращивания. Отметим, что расщепление решения на безмоментное и краевой эффект не всегда происходит; важно, в частности, допускает поверхность изгибания или нет. Не имея возможности углубляться в эти сложные вопросы, ограничимся представлением о безмоментной оболочке как о материальной поверхности, состоящей из точек без вращательных степеней свободы.

Уравнения (12.1) могут быть выведены из принципа виртуальной работы:

При этом краевые нагрузки должны лежать в касательной плоскости. Принцип (12.2) эквивалентен стационарности функционала

Поскольку функционал имеет минимум.

В качестве иллюстрации к (12.1) рассмотрим осесимметричную задачу для оболочки вращения. Из системы (11.9) имеем

Добавим к этому первый интеграл (11.10):

Найдя имеем далее после чего найдем и Определив придем к уравнению первого порядка для

Безмоментная теория (уравнения (12.1) которой так напоминают классическую линейную упругость) содержит немало нетривиального и в самой общей своей части. Интересно, в частности, то, что уравнения баланса сил в компонентах относятся к элиптическому типу при положительной гауссовой кривизне и к гиперболическому — при отрицательной [20].

Тип системы уравнений в частных производных (при двух аргументах) определяется по вспомогательной задаче Коши [19].

На некоторой линии С в плоскости изменения аргументов задаются значения неизвестных, что в сочетании с дифференциальными

уравнениями приводит к линейной алгебраической системе для первых производных от неизвестных. Коэффициенты системы зависят от направления если детерминант система однозначно разрешима. Линии, на которых называются характеристическими (или просто характеристиками). Для эллиптического типа характерно отсутствие характеристик. В случае гиперболического типа имеем столько семейств характеристик, каков порядок системьрв частных производных.

Между решениями уравнений эллиптического и гиперболического типов существуют качественные различия. В первом случае имеем гладкие решения. Во втором же возможны разрывы на характеристиках. Условие на характеристике (вытекающее из разрешимости неоднородной алгебраической системы с вырожденной матрицей дает своеобразный эффективный способ решения гиперболических уравнений. Используя (3.3), запишем уравнения баланса сил (12.1) как

Отсюда следует линейная алгебраическая система для производных

Определитель этой системы (если неизвестные расположить в порядке: равен

Условие не может быть выполнено, если или т. е. при положительной гауссовой кривизне. Это значит, что при уравнения баланса сил относятся к эллиптическому типу. Гиперболический тип имеем при характеристиками являются “асимптотические линии”.

Условие на характеристике вытекает из требования “ранг расширенной матрицы равен рангу матрицы левой части”. Для

гиперболической системы нельзя задавать произвольные нагрузки на асимптотической линии (при корректной постановке для гиперболических систем край области не может быть характеристикой).