§ 12. Безмоментная теория
В отличие от пластины, оболочка способна выдерживать нормальную распределенную нагрузку без возникновения внутренних моментов. В безмоментном состоянии напряжения равномерно распределены по толщине оболочки, безмоментные оболочечные конструкции можно считать оптимально спроектированными.
Уравнения безмоментной теории можно получить из системы (5.4), полагая
Перерезывающие силы отсутствуют, тензор сил симметричен, вектор и тензор не нужны.
Сразу можно высказать некоторые необходимые условия применимости безмоментной теории. На границе не должен быть задан прогиб иначе возникнет перерезывающая сила Нельзя задавать (пытаться задавать) поворот — возникнет момент
Формально безмоментная теория вытекает из общей моментной при если ограничиться внешним разложением в методе сращивания (§ 7.5). Внутреннее разложение соответствует уравнениям краевого эффекта [20]. В общем случае нагружения оболочки граничные условия для безмоментной теории являются результатом сращивания. Отметим, что расщепление решения на безмоментное и краевой эффект не всегда происходит; важно, в частности, допускает поверхность изгибания или нет. Не имея возможности углубляться в эти сложные вопросы, ограничимся представлением о безмоментной оболочке как о материальной поверхности, состоящей из точек без вращательных степеней свободы.
Уравнения (12.1) могут быть выведены из принципа виртуальной работы:
При этом краевые нагрузки должны лежать в касательной плоскости. Принцип (12.2) эквивалентен стационарности функционала
Поскольку функционал имеет минимум.
В качестве иллюстрации к (12.1) рассмотрим осесимметричную задачу для оболочки вращения. Из системы (11.9) имеем
Добавим к этому первый интеграл (11.10):
Найдя имеем далее после чего найдем и Определив придем к уравнению первого порядка для
Безмоментная теория (уравнения (12.1) которой так напоминают классическую линейную упругость) содержит немало нетривиального и в самой общей своей части. Интересно, в частности, то, что уравнения баланса сил в компонентах относятся к элиптическому типу при положительной гауссовой кривизне и к гиперболическому — при отрицательной [20].
Тип системы уравнений в частных производных (при двух аргументах) определяется по вспомогательной задаче Коши [19].
На некоторой линии С в плоскости изменения аргументов задаются значения неизвестных, что в сочетании с дифференциальными
гиперболической системы нельзя задавать произвольные нагрузки на асимптотической линии (при корректной постановке для гиперболических систем край области не может быть характеристикой).