§ 10. Принцип минимума дополнительной работы

Дополнительной работой называется следующий функционал над полем напряжений:

Ограничения на при которых рассматривается заданы не только на поверхности но и в объеме — там должно быть

Прежде всего докажем, что на любом допустимом поле отличном от истинного, будет

Но эти выкладки требуют комментариев. Во-первых, Во-вторых, мы приняли естественное предположение о существовании истинного поля перемещений и — такого, что Разумеется в (10.2) учтены ограничения на в объеме и на

Представляет интерес традиционный подход к (10.1) — через варьирование. В каждой точке объема имеем векторное ограничение. Вводя векторный же множитель Лагранжа Я, оперируем с как свободно варьируемой в объеме величиной

Выражения в скобках под интегралами — нули. Легко заподозрить, что — это истинное перемещение. Но главное — в другом: из (10.3) вытекают уравнения совместности в напряжениях

Мы выяснили, что следует из равенства Читатель легко справится с обратной задачей: доказать, что на истинном решении это равенство и соблюдается.

Знак второй вариации показывает наличие минимума:

Принцип минимума дополнительной работы очень полезен, например, для получения некоторых оценок приближенных решений. Но для вычислительной практики его роль не столь велика, как принципа Лагранжа.