§ 11. Упругое поле у фронта движущейся трещины

Рассмотрим этот вопрос по той же схеме, что и в случае винтовой дислокации (§ 14.4) — хотя применение линейной теории для тела с “изменяемой геометрией” сомнительно. Ограничимся простейшими двумерными задачами для бесконечной плоскости с трещиной § 14.4; фронтом является бесконечная прямая, параллельная оси z и Движущаяся с постоянной скоростью

Антиплоская деформация. Здесь где и удовлетворяет волновому уравнению (14.4.1). Решение считается стационарным: как в (14.4.2). Функция будет гармонической в сжатой плоскости с координатами По аналогии со статикой заключаем

где — полярные координаты в плоскости ; А — некая константа.

Определим соответствующие напряжения:

Скорость входит сюда сложным образом, поскольку от нее зависят. При формулы переходят в статические.

Плоская деформация. Общее решение однородных динамических уравнений для трехмерной среды имеет вид (12.5.4). При плоской деформации

В случае трещины в бесконечной плоскости, предполагая решение стационарным, получим

Допустим также, что при переходе от статики к динамике сохраняется особенность на фронте - в перемещениях. Рассматриваемая задача делится на две — о растяжении и о сдвиге. В первой из этих задач их четно по у а нечетно; во второй — наоборот. Учитывая все это, а также связь и с из (11.3), придем к следующим потенциалам в задаче о растяжении:

На берегах разреза имеем граничные условия

Потенциалы дифференцируются так же, как функция и в (11.2)

и т.д. Подставляя (11.5) в (11.6), обнаружим, что второе условие выполнено тождественно, а первое связывает . В результате получим формулы для и их с одним неопределенным параметром (КИН).