§ 9. Принцип виртуальной работы

Рассмотрим произвольный конечный материальный объем сплошной среды. Согласно принципу виртуальной работы

Здесь работа внутренних сил на единицу массы; массовая сила с учетом принципа Даламбера поверхностная сила в соответствии с формулой Коши.

Преобразуя поверхностный интеграл по теореме о дивергенции, используя (1.12.3) и учитывая произвольность V, получим

Как отмечалось в (2.4.2), работа внутренних сил равна нулю на виртуальных перемещениях твердого тела

Полагая (трансляция), выводим из (9.2) баланс сил (импульса)

что позволяет далее отбросить в (9.2) соответствующее слагаемое.

Задавая поворот будем иметь

К балансу сил добавился баланс моментов в знакомой форме симметрии Преобразованное вариационное уравнение (9.2) далее будем рассматривать для упругой среды

Упругой называется среда с потенциальными внутренними силами. Вид потенциала (на единицу массы) пока неизвестен, но можно утверждать, что определяется деформацией. Введем потенциал на единицу объема в отсчетной конфигурации и учтем баланс массы тогда

Полным аналогом (5.3) является равенство

Подстановка его в (9.4) с учетом (1.3.7) приводит к следующему:

Подчеркнуто фундаментальное выражение напряжений через градиент деформации Осталось лишь выяснить вид потенциала Подробнее об этом будет сказано позднее.

Мы рассмотрели принцип виртуальной работы для произвольного объема внутри тела. А теперь применим тот же принцип для всего тела

Здесь заданные на части поверхности О силы; на другой части О, положения точек заданы

Но учтем (9.4) — оно по-прежнему справедливо, хотя сначала пишем . Преобразуем (9.7) так:

Поскольку в объеме и на произвольна, подчеркнутые выражения должны быть равны нулю. Получили не только знакомый баланс сил в объеме, но и естественное граничное условие на