§ 4. Полиадное представление

Мы ввели тензоры как некие инвариантные объекты, проявляющиеся в каждом базисе в виде совокупности чисел. Такое изложение характерно для большинства руководств по тензорному исчислению. Индексная запись конструктивна и проста, если нам достаточно декартовых координат. Но для теории упругости этого мало, она требует более мощного и совершенного аппарата прямого тензорного исчисления, оперирующего лишь с инвариантными безындексными объектами.

Соотношение (1.1) связывает вектор с его компонентами и базисом Сейчас мы установим аналогичное соотношение для тензора любого ранга.

Рассмотрим тензор второго ранга В. В каждом базисе имеем девять чисел и столько же диад Первое из действий над тензорами позволяет нам образовать сумму Это тензор, но каковы его компоненты и сохранится ли подобное его представление при повороте базиса?

Компоненты построенной суммы

Это компоненты тензора В. При повороте же базиса

Сомнения отпали — приходим к диадному представлению тензора второго ранга

Аналогичным образом можно разложить тензор любого более высокого ранга по соответствующим полиадам. Для тензора третьего ранга, например, имеем .

Полиадные представления типа (4.1) позволяют проще и с большим пониманием оперировать с тензорами. Примеры:

Последняя строчка весьма важна: выражение компонент тензора второго ранга представлено через сам тензор. Закон преобразования компонент при повороте базиса оказывается очевидным следствием (4.2).

Полиадное представление связывает вместе прямую и индексную запись. Не стоит противопоставлять их. Прямая запись эстетична, и лишь она должна быть в фундаментальных соотношениях. Но и индексная запись полезна: при громоздких выкладках с тензорами высокого ранга мы не встретим трудностей.