§ 8. Тонкие тела
Задачи теории упругости часто ставятся для тонких тел — стержней, пластин и оболочек. Таковы многие элементы конструкций, но и в природе вне человека тонкие тела встречаются достаточно часто.
Решение задач теории упругости для тонких тел многие десятилетия основывалось на неких гипотезах о распределении решения по толщине и о порядках одних неизвестных относительно других. Построенные так теории сыграли большую роль в практике инженерных расчетов. Однако им не хватало логической стройности и убедительности, их хотелось обосновать, уточнить — а в последнее время и уничтожить (в связи с появлением чудесных компьютеров). Но открытое не так давно явление асимптотического расщепления прояснило картину: в тонком теле трехмерная задача расщепляется на задачи меньшей размерности. Классические теории тонких тел получили и подтверждение, и развитие.
Рис. 21
Рассмотрим задачу о кручении из § 4.13:
Сечение стержня — узкая полоска шириной 
ось полоски определяется радиус-вектором 
как функцией дуговой координаты (рис. 21).
Введем 
орт касательной к оси полоски 
орт нормали к ней. Радиус-вектор произвольной точки сечения представим в виде
где 
(малый параметр показывает, что полоска узкая).
Учитывая формулы дифференцирования
(к — кривизна оси полоски), определим соответствующий (8.2) базис, затем — кобазис, что позволит написать выражение оператора Гамильтона
Вытекающее отсюда представление оператора Лапласа таково:
Решение уравнения (8.1) с учетом (8,3) будем искать в виде
Этот результат, не зависящий от кривизны полоски, легко объясняется мембранной аналогией Прандтля (задача (8.1) описывает и прогиб мембраны, натянутой на сечение и равномерно нагруженной). Однако (8.4) не удовлетворяет условиям на концах полоски: при 
должно быть 
Разложение (8.4) — внешнее (§ 5). У концов полоски решение представляется внутренними разложениями. Так, вблизи 
следует положить 
переписать оператор (8.3) в переменных 
определив погранслой, срастить его далее с внешним разложением.
В этом простом примере расщепление задачи на две одномерные (по 
и по 
не бросается в глаза, но оно состоялось. Интереснее и сложнее задача для функции депланации и (§ 4.13). Однако можно определить и по 
простым интегрированием согласно (4.13.16):
Интеграл равен так называемой секториальной площади — ее заметает радиус-вектор при движении его конца по оси полоски.
Библиография
Все разнообразие асимптотических методов представлено в монографиях А. Найфэ [65, 66] и Дж. Коула [42]. Среди обширной литературы по нелинейным колебаниям отметим книги Н. Н. Моисеева (61] и Н. Н. Боголюбова с Ю. А. Митропольским [10]. Применение асимптотических методов в различных областях теории упругости описано у П. Е. Товстика [102] и И. Е. Зино и Э. А. Троппа [32].
