§ 14. Иной вариант классической теории
Выше при изложении моментной теории оболочек частицы материальной поверхности считались твердыми телами с шестью степенями свободы — векторы 
могли быть произвольно направлены в пространстве. Соответственно, баланс сил и моментов выражался шестью уравнениями в компонентах (§ 3). Но у теории нашлись следующие уязвимые места:
— представление о напряжениях как множителях Лагранжа подсказало, что тензор моментов выходит из касательной плоскости (§ 7);
— от граничного условия на нормальный момент 
или поворот 
пришлось отказаться (§ 10);
— из равенства нулю плотности энергии не следовало отсутствие деформации 
Большей (и едва ли не полной 
логической стройности теории можно добиться, считая частицы поверхности материальными нормалями с пятью степенями свободы. Вектор 0 при этом лежит в касательной плоскости — как и все моменты. Вариация нормали и работа момента таковы:
(дальше убедимся, что работать с 
удобнее, чем с 
).
Форма поверхности (с точностью до перемещения твердого тела) вполне определяется функциями 
компонентами метрических тензоров. Ведь эти функции позволяют найти коэффициенты деривационных формул (1.13), интегрирование которыхдает 
Следовательно, деформация поверхности может быть задана тензорами
где фигурируют малые приращения компонент 
Тензор 
определяющий изменения длин и углов на поверхности, присутствует во всех изложениях теории оболочек. Тензор же 
в виде (14.3) не столь известен. Заметим, что оба тензора симметричны и лежат в касательной плоскости.
Поворот связан с перемещением условием ортогональности
что позволяет придать тензору 
простейший вид
(напоминает теорию изгиба пластин).
Очевидна следующая формулировка принципа виртуальной работы:
На жестких перемещениях 
. Применяя технику множителей Лагранжа, получим
Тензоры 
симметричны и лежат в касательной плоскости — таковы ограничения. Векторный множитель X введен согласно (14.4) и позволяет независимо варьировать в и 
Тождества
и теорема о дивергенции переводят (14.7) в форму
Подчеркнутые векторы равны нулю, поскольку вариации 6в и 
произвольны. Пришли к уравнениям баланса и формулам типа Коши на отрезке 
Подчеркнем, что:
— уравнений в компонентах пять, а не шесть;
— тензор моментов 
симметричен;
- 
это вектор перерезывающих сил 
;
— тензор сил 
в касательной плоскости теперь равен 
Особо отметим, что в новом варианте классической теории нет противоречия с уравнением (3.6). По выражению работы свяжем 
Проверяя (3.6), получим желаемое
Далее можно вывести соотношения упругости из (14.6), учитывая (14.8) и (14.9):
Для перерезывающей силы X соотношение упругости, разумеется, не может быть написано в теории классического типа.
При изотропии в касательной плоскости и отсутствии перекрестных связей приходим к простейшему варианту
Модули 
можно взять как в пластине (получены асимптотическим анализом трехмерной задачи).
Уточним граничные условия (см. § 10). На контуре
после интегрирования по частям. Преобразуя так интеграл из (14.9), придем к граничным условиям в общем виде
При всех вариантах здесь имеем четыре условия в компонентах — многократно отмеченное в литературе обстоятельство.
Если контур интегрирования имеет угловые точки, величина 
будет содержать 
-функции — как 
при нагрузке сосредоточенными силами.
В теории оболочек (и в линейной теории упругости вообще) заметную роль играют уравнения совместности деформаций. Компоненты 
обязаны удовлетворять условиям Гаусса-Петерсона-Кодацци (1.15). От них можно перейти к уравнениям совместности для 
Но рассмотрим иной подход, связанный с однозначностью перемещений и поворотов.
Будем опираться на теорему о циркуляции:
Градиент перемещения представим в виде
Поскольку 
можно назвать 
вектором поворота; но подчеркнем, что к обобщенным координатам частицы относится лишь его плоская часть 
Подстановка (14.15) в (14.14) ведет к следующему:
Обратимся далее к “моментному” тензору деформации
С учетом (14.16) отсюда имеем
Условие однозначности (14.14) для 
представляется в виде
где 
означает поворот тензора: 
д.
Уравнения (14.19) выражают совместность деформаций. Поскольку 
лишь обозначение, имеем три уравнения в компонентах.
Сравнивая (14.19) с уравнениями баланса сил и моментов, видим их совпадение по существу; разница лишь в обозначениях: на месте 
стоит 
д. В этом состоит известная статико-геометрическая аналогия.
Изложенный вариант теории оболочек напоминает представленное в литературе, но отличается деталями. Новые уравнения оболочек вращения читатель выведет как в § 11.
Библиография
Теория оболочек изложена в монографиях 
Гольденвейзера [20], В.В. Новожилова [70], А. И. Лурье [54], B. C. Черниной [111] и ряде других. Достоинства этих книг перекрывают неразвитость формального аппарата. Переход от трехмерной модели оболочки к двумерной рассмотрим у В. Л. Бердичевского [7] и Л. М. Зубова [33]. Среди множества обзоров по теории оболочек отметим хотя бы [121].
