В последнем равенстве контурный интеграл равен нулю.
Представим далее потенциалы как
и введем векторы
тогда радиус-вектор центра изгиба 
Формула (12.13) примет вид
Подставив (13.3) и (13.5) в (13.2), будем иметь
Равенства (13.2) и (13.6) дают искомое выражение энергии. Проварьируем его:
Отсюда вытекают соотношения упругости
Здесь фигурируют известные по элементарным курсам жесткости на растяжение 
и изгиб 
а также знакомая по решению Сен-Венана жесткость на кручение 
Но появились новые детали.
Во-первых, перекрестная связь между изгибом и кручением определяется в (13.8) вектором 
а не 
, как в (13.5). Соответственно упрощается формула для радиус-вектора х центра изгиба. Противоречия с (12.14) нет, поскольку 
Второе, что следует отметить, — это тензор жесткости на сдвиг 
Коэффициенты сдвига К определяются формой сечения по решениям краевых задач для 
и 
Для прямоугольного сечения задачи решаются методом собственных функций, а для эллипса решение элементарно [30]. В случае круга получим
В работе автора [30] рассмотрены аналогичные выкладки и для многосвязного сечения. Там же представлена задача Сен-Венана и определение жесткостей для стержней с кривизной и кручением.
и с в одномерной модели (или податливости 
можно определить только с помощью решений трехмерных задач для стержня. Но возникают два вопроса: какие задачи рассматривать и что конкретно следует взять из решений?
находим 
и далее определяем объемные 
и поверхностные 
нагрузки...
в стержне — это интегралы по сечению (12.2). И совсем не ясно, что считать перемещением и поворотом в одномерной модели. Можно, например, предложить варианты
есть еще величина, не вызывающая сомнений — энергия деформации. Естественно потребовать, чтобы в одномерной и трехмерной модели энергии на единицу длины совпали. При этом будем исходить из 
а не 
тогда исчезнет произвол в трактовке 
и 
. Итак, примем
