§ 2. Трехмерная среда

Исходим из уравнений в перемещениях

В рассматриваемой периодической структуре модуль быстроменяющаяся периодическая функция декартовых координат:

целые числа, а, — размеры ячейки периодичности. Решение (2.1) представляется как

где все члены периодичны по Разложим оператор Гамильтона и перепишем (2.1):

Подставим разложение (2.2) в (2.3) и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях

В главном члене (порядка получим

Граничные условия — требования периодичности. Очевидно, любой не зависящий от вектор будет решением поставленной задачи. Докажем, что других решений нет.

В многократно использованном равенстве

для ячейки периодичности левая часть равна нулю, поскольку на противоположных гранях прямоугольного параллелепипеда (с ребрами длиной а.) “ одинаковы”, а орты нормали противоположны. Справа же имеем из равенства энергии нулю следует перемещение твердого тела. Но периодичность и возможна лишь при Итак,

Далее предстоит вывести уравнение для и найти поправку, определяющую локальную структуру поля. Для членов в (2.3) будем иметь

Отметим, что можно отбросить как несущественную поправку к v . “Ценная” же часть оказалась пропорциональной эффективной деформации Тензор третьего ранга симметричен по второму и третьему индексам.

Задача на ячейке для настолько важна, что стоит рассмотреть ее с разных сторон. Начнем с напряжений:

Именно тензор фигурирует в задаче на ячейке (2.5). Он симметричен по первой и второй парам индексов. При заданной второй паре Туке можно рассматривать как обычный тензор напряжений при равновесии без объемных сил:

Тензор симметричен по второму и третьему индексам. Перебирая эти индексы, имеем шесть задач с перемещениями и напряжениями

Соответствие индексов представлено в табл. 1

Таблица 1 (см. скан)

На границах ячейки заданы условия периодичности для но не для

Вместо можно работать с и тензором та Тогда откроются две возможности: либо слагаемое рассматривать как начальное напряжение, либо же член в (2.5) считать объемной силой.

Теперь обратимся к слагаемым в уравнении (2.3):

Нет необходимости определять Достаточно условия разрешимости: интеграл по объему ячейки от подчеркнутого слагаемого равен нулю, что следует из теоремы о дивергенции и периодичности по Приходим к итоговому уравнению для эффективного поля

Это результаты корректного асимптотического анализа. Но то же самое выражение эффективных модулей получается и при простом осреднении поля напряжений (2.6). Вычисление интеграла по объему можно упростить:

Для расчета эффективных модулей достаточно знания “поверхностных сил” .

В задаче на ячейке граничными условиями служат требования периодичности. Если ячейка обладает материальной симметрией, возможен переход к части ячейки с обычными условиями первого и второго рода. При этом переходе полезны соображения четности и нечетности

— об этом ниже.