§ 2. Единственность решения динамической задачи

Как обычно в линейной математической физике [53, 101], теорема единственности доказывается от противного. Допустим, что есть два решения: Составим разность и докажем, что она равна нулю.

Но сначала убедимся в существовании интеграла энергии — выведем уравнение баланса механической энергии в линейной модели:

Слева имеем

Применив теорему о дивергенции и учтя уравнение баланса импульса и условие на убедимся, что (2.1) удовлетворено.

Из (2.1) следует, что при отсутствии объемных и поверхностных сил (и закреплении на ) полная механическая энергия постоянна. Если в начальный момент тело находилось в ненапряженном состоянии покоя, то

Кинетическая энергия при и обращается в нуль лишь при это следует из равенства Потенциальная энергия, очевидно, также должна быть положительной:

Таково наше априорное требование к тензору Это одно из “дополнительных неравенств в теории упругости” [50, 103].

Поскольку положительны, из (2.2) вытекает

где произвольные константы. При соответствующем закреплении на , возможно лишь

Теперь вспомним о двух решениях Их разность и есть решение полностью однородной задачи (в граничных и начальных условиях — нули, и в объеме . Поэтому единственность доказана.

Что же касается существования решения, то простыми выкладками ее в общем случае не обосновать. Отметим лишь, что задача является эволюционной, т. е. определяет развитие процесса во времени.

Из уравнения баланса импульса находим ускорение и, далее переходим на “следующий временной слой”

Разумеется, эти соображения лишены математической строгости, характерной, например, для монографии Ф. Сьярле [93].