§ 8. Нелинейная модель со стесненным вращением

Вспомним переход к модели со стесненным вращением в линейной теории (§ 5). Разделились соотношения упругости для симметричной части тензора силовых напряжений и антисимметричной Мы постулировали связь которой соотношение для не может быть написано выступает в роли реакции идеальной связи). Заданная связь означает привычное выражение поворота через перемещения в линейной теории

Подобную процедуру можно провести и в нелинейной теории, но это непросто. Предположим, что:

— следует как-то разделить соотношения упругости для

— надо задать такую внутреннюю связь, при которой соотношение упругости для исчезает;

— найденная связь окажется искомым выражением поворота через трансляцию.

Все это может показаться излишним, поскольку в полярном разложении градиента деформации присутствует однозначно определенный тензор поворота. Разве нельзя использовать его в моментной модели? Но проблема в том, что в механике сплошной среды

распространено и другое представление о повороте частицы, связанное с вектором вихря — и эти два поворота различны (§ 3.5). Вопрос “об истинном повороте” может показаться искусственным и надуманным, поскольку элементарный объем деформируется. Но отказ от рассмотрения этого вопроса равносилен не только потере квазиконтинуума Коссера, но и классических теорий стержней, пластин и оболочек (о них — специальные главы ниже).

В полярном разложении градиента деформации для моментной среды

тензор поворота представим как

где тензор соответствующего дополнительного поворота.

Если поворот частицы все-таки определяется полярным разложением то Ясно, что поле однозначно определяется полями

Учитывая новое выражение тензора деформации

рассмотрим работу силовых напряжений в вариационном уравнении (7.17):

Принимаем во внимание равенства

(для любого тензора второго ранга В), из (8.4) получим

Соотношение (8.5) легко преобразуется:

Это искомое соотношение упругости для антисимметричная часть тензора определяется лишь зависимостью энергии от S (может быть, стоит назвать деформационным поворотом).

Сложнее преобразовать (8.6). Для начала отметим, что в компонентах (8.6) представляет собой линейную алгебраическую систему шести уравнений для девяти неизвестных. Логично предположить, что (8.6) определяет поскольку уже найдено. Если неизвестным в (8.6) считать все-таки весь тензор то решений будет бесконечно много; общее решение (8.6) — это сумма частного решения неоднородного уравнения и общего решения однородного Отметим, что (8.6) означает следующее:

Частным решением (8.8) является следующий симметричный тензор:

где тензор деформации Коши-Грина. Это вытекает из равенств

Теперь найдем общее решение однородного уравнения

Вектор х произволен. Но его можно связать с антисимметричной частью

Здесь поскольку частное решение неоднородного уравнения симметрично.

Объединяя (8.8), (8.9) и (8.11), можем написать общее решение уравнения (8.6) (учтем при этом, что

Равенства (8.7) и (8.12) представляют собой соотношения упругости для с отдельным выражением Будучи громоздким, полученный результат важен — и весьма — при переходе к модели со стесненным вращением. Соотношение упругости для исчезает при

Это означает, очевидно, что тензор поворота из полярного разложения становится тензором поворота моментной среды.

Библиография

Все работы по моментной теории упругости содержат ссылки на книгу и Коссера 1120], где трехмерной среде посвящена одна глава из шести. Переведенная монография В. Новацкого [68] была одной из первых книг на русском языке с изложением линейной моментной теории. Ранее эта область представлялась статьями — например, Миндлина и Тирстена [59]. Краткое изложение моментной теории, но с подробным рассмотрением задач содержится в книгах Н.Ф. Морозова [62, 63].