§ 4. Магнитостатика

Если поле (а с ним не зависит от времени, электричество отделяется от магнетизма. Третье и четвертое уравнения Максвелла

после введения векторного потенциала сводятся к уравнению Пуассона:

Последнее совпадает по существу с электростатикой, так что можно воспользоваться решением (2.3):

— закон Био-Савара. При известном распределении токов (а в электротехнике часто так и есть) расчет поля сводится к интегрированию (4.3). Пондеромоторная магнитная сила, согласно (1.3), равна

Как и в электростатике, можно ввести тензор Максвелла:

Система поверхностных сил статически эквивалентна объемным силам но для деформируемого тела они не эквивалентны.

Весьма важно, что пондеромоторные силы (4.4) потенциальны, причем потенциалом является магнитная энергия с обратным знаком [94]:

Интегрирование — по полному полю. Как и выше, волна означает варьирование; и — виртуальное перемещение. Консервативность сил (4.4) удивительна, поскольку в силе Лоренца (1.1) слагаемое не совершает работы.

В электростатике мы учли, что вариация плотности удовлетворяет уравнению сохранения заряда. Подобное ограничение, но для токов, необходимо и при выводе (4.6). Естественно потребовать, чтобы полный ток через любую материальную поверхность сохранился при варьировании:

Волна с точкой означает материальное варьирование, аналогичное материальному дифференцированию (§ 3.2). Для вектора

Отметим, что для электромагнитного поля мы применяем пространственное описание, дифференцирование по времени и варьирование — локальные.

Используя формулы (3.6.1), (1.11.5) и (3.3.9), получим

Учитывая это и (4.8) при варьировании интеграла (4,7), придем к следующему важному соотношению

В магнитостатике (4.9) играет такую же роль, как (2.8) в электростатике. Приступим к доказательству (4.6). Имеем

— приходим к (4.6).

Обратим внимание на то, что потенциал пондеромоторных сил равен магнитной энергии с минусом, тогда как в электростатике был знак плюс.

Часто рассматривают линейные токи: отлично от нуля лишь на линии, имея соответствующую дельтаобразную особенность. Если радиус-вектор на линии с дуговой координатой а поле В считается внешним и не варьируется, то виртуальная работа

Здесь I — ток в проводе в виде замкнутой линии — какая-либо поверхность с границей — поверхность в виде узкой полоски, “составленная из векторов и" (на магнитный поток — ему и пропорционален потенциал

Заметим, что при непрерывно распределенных токах потенциал (4.6) может быть преобразован как

что напоминает (4.10) (а также ситуацию в электростатике с точечными зарядами и непрерывно распределенными).

Но вернемся к случаю замкнутого линейного тока (формулы (4.10)). В однородном поле суммарная сила равна нулю:

Момент же будет следующим:

поскольку

Вектор в (4.12) называется магнитным моментом. При повороте витка (с вектором 80) работа равна

— такова потенциальная энергия жесткого витка в однородном поле.