§ 8. Вариационные подстановки

Поскольку при заданной температуре уравнения термоупругости выглядят как в механике (с дополнительными “силами” ), нетрудно получить следующее вариационное уравнение:

От принципа минимума потенциальной энергии это отличается лишь заменой на свободную энергию А.

Из (8.1) вытекают уравнения в перемещениях и граничные условия на

дальнейшее ясно.

Для получения других вариационных принципов понадобится термодинамический потенциал Гиббса вводимый преобразованием Лежандра [68]

Легко устанавливается смешанный вариационный принцип типа Рейсснера:

Преобразование вариации не отличается от (4.11.2).

Функционал (8.3) не имеет экстремума, но у (8.1) — минимум (определяемый положительностью второй вариации).

Вариационные уравнения (8.1) и (8.3) можно распространить на динамику, включив в неварьируемые силы инерции

Простая вариационная постановка имеется и в задаче теплопроводности (без обратного влияния деформации):

Действительно, при варьировании получим

что полностью соответствует и уравнению в объеме, и условию на

Уравнение (8.4) написано для статической задачи. Но его можно обобщить на нестационарные процессы, добавив к В неварьируемое слагаемое

Более сложные вариационные постановки для нестационарных задач описаны в книге [6].

Библиография

В формировании новых взглядов на термодинамику сплошной среды велика роль К. Трусделла [103]. Четкое изложение основных законов есть у К. Теодосиу [95] и других авторов. Обстоятельным изложением термоупругости отличаются книги В. Новацкого [67, 68], а также Э. Мелана и Г. Паркуса [56, 75]. Методы расчета температурных полей изложены у Н. М. Беляева и А. А. Рядно [6].