§ 6. Волны в стержнях
Рассмотрим прямой стержень. Продольная деформация описывается уравнениями (2.7) или (2.10). Для свободных синусоидальных волн имеем 
Фазовая скорость постоянна — дисперсии нет. Такая же картина для крутильных волн, где 
Уравнения изгиба Бернулли-Эйлера не относятся к волновому типу, но волновые решения имеют:
Здесь — ярко выраженная дисперсия.
При наличии дисперсии фазовая скорость 
отличается от групповой скорости 
. Понятие с, возникает при рассмотрении волнового пакета
Волновое число пробегает малый промежуток длины 
можно считать 
Рис. 30
Имеем синусоиду с амплитудной модуляцией, пик движется со скоростью с. В модели Бернулли-Эйлера 
Для модели Тимошенко дисперсионная картина иная. Полагая в (2.11)
получим однородную алгебраическую систему для амплитуд. Равенство нулю определителя дает дисперсионное уравнение
которому в плоскости 
соответствуют две ветви (рис. 30).
Предельные при к 
значения 
равны 
При к 
низшая ветвь переходит в прямую Бернулли-Эйлера, а для второй ветви 
а вариационный переход является результатом нашей аппроксимации по сечению. Поэтому наиболее интересно рассмотрение волн в стержне в трехмерной постановке.
с координатами 
будем искать решение в виде
на боковой цилиндрической поверхности, получим для 
однородную задачу в сечении. Нетривиальное решение существует лишь при определенной зависимости 
это и есть дисперсионное соотношение. Такой подход реализован для плоской деформации слоя [68], а также для кругового цилиндра. Дисперсионных ветвей оказалось бесконечно много, при к 
стремится к скорости волн Рэлея, и лишь при к 
начальные участки низших ветвей согласуются с поведением одномерных моделей.