§ 7. Главные оси и главные значения симметричного тензора
Если для тензора второго ранга В выполняется равенство
то X называется главным значением В, а определяемая вектором а ось — главной осью В. В компонентах имеем матричную задачу на собственные значения 
это линейная алгебраическая система для 
ее определитель должен равняться нулю:
Корни характеристического уравнения (7.2) — главные значения — не зависят от базиса и потому инвариантны. Выражающиеся через них коэффициенты (7.3) также не зависят от базиса; они называются главными инвариантами тензора (
мы уже встречались).
Это относилось к произвольным тензорам второго ранга. В случае же симметричного тензора справедливо следующее:
1. Главные значения симметричного тензора вещественны;
2. Главные оси его, отвечающие различным главным значениям, ортогональны.
Первое утверждение доказывается от противного. Если X — комплексный корень (7.2), то сопряженное число X также будет корнем. Ему соответствует вектор с сопряженными компонентами а. Из (7.1) следует равенство
Но слева здесь — нуль, поскольку 
Поэтому 
т. е. вещественно.
Столь же просто обосновывается 
При различных главных значениях орты главных осей образуют декартов базис; каковы в нем компоненты тензора? В общем случае 
в базисе же главных осей
матрица компонент диагональна и 
Здесь приходится отказываться от индексной символики, и это закономерно, поскольку используется особый базис.
Случай кратных главных значений можно рассмотреть с помощью соответствующего предельного перехода. При 
любая линейная комбинация 
в пределе удовлетворяет (7.1); это значит, что любая ось в плоскости 
становится главной. Если же совпадают все три главных значения, то любая ось в пространстве — главная. При этом 
такие тензоры называются шаровыми.
