§ 7. Случай кратных корней

Вернемся к задаче устойчивости (1.5) в случае циркуляционных сил. Как уже отмечалось, критическая ситуация характеризуется слиянием собственных чисел ( в (1.6)) на мнимой оси с последующим расхождением влево и вправо. Если при нулевой нагрузке собственные числа были различны собственные частоты линейной системы), то для потери устойчивости необходим такой рост нагрузки, чтобы пройти расстояние между “сливающимися частотами”. Это расстояние определяет запас устойчивости.

Но подобного запаса нет в системе с кратными частотами. Собственные числа слиты уже при нулевой нагрузке. Сколь угодно малая нагрузка может вызвать неустойчивость. Частный случай этого явления — “парадокс Николаи”: прямой консольный стержень с равными жесткостями на изгиб при сколь угодно малом “мертвом” моменте на свободном конце проявляет неустойчивость [74]. Если жесткости на изгиб различны, появится запас устойчивости. Обнаруженное Николаи явление не может более считаться парадоксом — все достаточно ясно и объяснимо.

Должно быть понятно и то, что без демпфирования исследование устойчивости с “мертвым” моментом не имеет отношения к реальности.

Мы не приводим здесь соответствующих выкладок: они громоздки и должны уступить место компьютерному анализу.

Библиография

Увлекательные вопросы устойчивости упругих систем освещены в книгах Я. Г. Пановко [72, 74], В.В. Болотина [11], В. И. Федосьева [106]. Необходимо отметить и монографии С. П. Тимошенко [97], Г. Циглера [108] и Н. А. Алфутова [1]. Среди многих книг по общей теории устойчивости автор выделил бы курс Д. Р. Меркина [58].