§ 14. Вариационный метод построения одномерных моделей
Мы только что определили жесткости стержня, полагая, что одномерная модель Коссера правильно отражает поведение трехмерной модели. “Одномерные” представления ассоциируются со следующей картиной перемещений в сечении:
Однако, такое и не удовлетворяет уравнениям трехмерной теории. Нельзя пренебречь возникающими невязками в дифференциальных уравнениях и граничных условиях.
Формально чистым является вариационный метод сведения трехмерной задачи к одномерной, называемый в некоторых работах методом внутренних связей — но автор назвал бы его методом Л. B. Канторовича. Аппроксимация (14.1) подставляется в вариационную формулировку трехмерной задачи
которая после интегрирования по сечению становится одномерной. Если 
варьируются независимо, получим модель типа Коссера. В случае 
придем к классической модели.
Метод внутренних связей привлекателен, его продолжают “переоткрывать”. Он позволяет рассматривать тела с неоднородностью и анизотропией, обобщается на динамику (вместо/следует взять 
с неварьируемой динамической добавкой). Можно рассмотреть стержни переменного сечения, и даже нелинейно-упругие, поскольку соответствующая вариационная постановка есть (см. гл. 3).
Важно, что аппроксимацию (14.1) можно дополнить слагаемыми с внутренними степенями свободы. Понимая необходимость учета депланации, некоторые авторы вводят в правую часть (14.1) слагаемое
Рис. 24
неизвестное 
может быть или независимым, или равным 
В качестве иллюстрации рассмотрим уточненную теорию продольных смещений прямого стержня. Исходной примем двумерную постановку: полоса 
нагружена лишь внутри объемными силами 
(рис. 24). Вариационное уравнение двумерной задачи
Самый важный момент в процедуре — назначение аппроксимации. Возьмем
Если 
получим известную элементарную теорию. В случае 
придем к уточненной теории Рэлея-Бишопа [2]. Свободное варьирование V соответствует модели Миндлина-Геррманна [2].
Подставляя (14.3) в (14.2), будем иметь
Пришли к одномерной вариационной постановке, из которой вытекают дифференциальные уравнения и граничные условия на свободных концах:
Краевые условия будут неоднородными, если на концах задать нагрузки и ввести в (14.2) дополнительные слагаемые.
Вывод (14.2)-(14.4) переносится на динамику, где вместо 
получим
Для вариационного построения одномерных моделей удобен принцип Рейсснера (§ 4.11) с независимой аппроксимацией напряжений [30]. Однако необходима некая согласованность в задании 
.
Множеству достоинств вариационного метода противостоит один, но серьезный недостаток. Задавая аппроксимации по сечению, мы навязываем природе свои упрощенные представления. Вариационный метод более подходит лишь для грамотных прикладных расчетов.
