§ 13. Кручение стержней

Эта задача, тщательно изученная Сен-Венаном, рассматривается едва ли не во всех руководствах по классической теории упругости. Речь идет о цилиндре произвольного сечения, нагруженном лишь поверхностными силами на торцах (рис. 15):

В задаче о кручении главный вектор торцевых нагрузок равен нулю, а главный момент направлен по оси z стержня:

Ясно, что при кручении возникают касательные напряжения Допустим, что лишь эти компоненты отличны от нуля:

Используя уравнения в напряжениях, можно сразу упростить задачу:

Рис. 15

Обнаруженная независимость от позволила “трехмерные” операторы заменить “двумерными”.

Уравнение (13.4) позволяет ввести функцию напряжений так же, как и в антиплоской задаче: где а — некая константа.

Из (13.5) следует, что постоянен; выделение а из функции напряжений дает право считать

Необходимо поставить граничные условия к этому уравнению Пуассона и определить константу а (очевидно, через крутящий момент М).

На боковой поверхности цилиндра но является и ортом нормали к контуру сечения в его плоскости (рис. 13), так что на

Поскольку определена с точностью до аддитивной константы, можно принять

Однако, (13.9) не относится к случаю многосвязного сечения, где граница состоит из нескольких замкнутых контуров (рис. 16). На одном из контуров (обычно на наружном можно принять но на остальных значения будут неизвестными константами. Для определения их потребуется дополнительный учет однозначности перемещений. Ограничимся пока односвязными сечениями. Уравнением (13.7) и граничным условием (13.9) функция напряжений полностью определена. Найдем теперь а по крутящему моменту

Рис. 16

Контурный интеграл исчез благодаря (13.9). Величина С играет важную роль не только в задаче кручения, но и в теории упругих стержней вообще; она называется геометрической жесткостью на кручение.

Уравнение (13.7) не сложнее уравнения Лапласа, поскольку сумма является гармонической функцией. Задав какое-либо решение (13.7) и найдя замкнутую линию, на которой выполняется (13.9), мы получим результат для соответствующего сечения. В качестве примера рассмотрим функцию

Рис. 17

и — полярные координаты). На рис. 17 показана область (круговое сечение с выточкой), на контуре которой Отметим, что (13.11) содержит и три гармонические функции:

Вычисляя касательное напряжение

обнаружим в глубине выточки — при сколь угодно малом радиусе а это вдвое больше, чем без выточки.

Обратимся к перемещениям. Определим их интегрированием соотношений закона Гука

Отсюда, во-первых, имеем

Перемещение в плоскости — как в твердом теле, а “депланация” одинакова во всех сечениях. Четыре неизвестных функции предстоит определить из последнего уравнения (13.12)

Применив к обеим частям этого равенства операцию обнаружим

что раскрывает геометрический смысл постоянной а — это угол закручивания на единицу длины. Теперь в (13.14) имеем два типа слагаемых: зависящие лишь от и только от х (остальные). Следовательно,

Но вклад — это перемещение твердого тела Такие слагаемые всегда появляются при определении перемещений по деформациям и потому могут быть отброшены как тривиальные.

Полагая в приходим к условиям Коши-Римана; комплексная комбинация

Это регулярная функция от Она определяет как депланацию и, так и напряжения (через

Отметим, однако, важную особенность нашего рассмотрения задачи о кручении: условия на торцах (13.1) удовлетворены не в каждой точке х, а лишь в интегральном смысле — по силе и моменту. Вносимая этим погрешность существенна лишь вблизи торцов — так предположил Сен-Венан, и это оказалось справедливым [53].