§ 8. Цилиндрическая оболочка
Существуют разные уравнения цилиндрической оболочки. Приводятся громоздкие выкладки с отбрасыванием некоторых малых членов, и не всегда ясно, какие именно члены действительно можно отбросить.
Рис. 28
Предлагаемая читателю теория оболочек иного свойства: лишних членов нет, все уравнения записаны в компактной тензорной форме — остается лишь грамотно действовать с компонентами тензоров. В качестве иллюстрации рассмотрим цилиндрическую оболочку.
В декартовой системе 
круговая цилиндрическая поверхность определяется уравнением 
радиус, т.е. к — кривизна) (рис. 28). Полагая 
будем иметь
Сразу отметим формулы дифференцирования
Найдем характерные для поверхности величины:
Рассмотрим необходимые дифференциальные операции первого порядка над векторами:
Выражение 
отличается от 
лишь заменой и на 
Соотношения для сил и моментов:
Раскроем далее выражение дивергенции тензоров;
Теперь можем расписать уравнения баланса моментов, служащие для определения 
Окончательные уравнения в перемещениях получаются при подстановке в (5.4, а) выражений компонент 
использованием формул (8.8) для 
и учетом (8.7).
Достоин внимания автоматизм вывода. Мы обошлись без традиционного изображения элемента оболочки с указанием сил и моментов на его четырех сторонах. Не понадобился и “деформационный” чертеж элемента в двух состояниях с выделением поворотов, удлинений, сдвигов, искривлений и проч.
Ограничимся при дальнейшем рассмотрении примера осесимметричной деформацией. Компоненты (в базисе 
не зависят от 
равны нулю 
Формулы упростятся:
Пришли к системе двух уравнений для их и 
(суммарный порядок — шестой). Коэффициенты в случае однородного изотропного материала — см. (5.5); 
Общее решение однородной системы содержит четыре экспоненциальных функции — краевые эффекты. Вдали от концов можно отбросить подчеркнутое слагаемое в (8.9) — так строится “безмоментное” решение (внешнее разложение по терминологии метода сращивания).
