§ 14. Полая сфера под действием давления
Решение этой относительно простой задачи описано во многих книгах. В отсчетной (ненапряженной) конфигурации имёем сферу с
Рис. 10
внутренним радиусом 
и наружным 
Давление равно 
внутри и 
снаружи.
Введем соответствующую задаче сферическую систему координат в отсчетной конфигурации 
(рис. 10). Эти же координаты будут и материальными. Имеем
(см. скан)
Здесь 
— орты декартовой системы 
орты касательных к координатным линиям.
Искомое решение сферически-симметрично, поэтому радиус-вектор частицы в актуальной конфигурации 
будет отличаться от 
лишь заменой 
на 
После этого можно определить градиент деформации и меры деформации
Ограничимся простейшим случаем: возьмем несжимаемый материал Трелоара:
(использовано (13.9) при 
Представим тензор напряжений в естественном для приложений виде
и обратимся к уравнению баланса сил с тензором Писша
Вывод последнего уравнения читателю может быть знаком хотя бы по курсам сопротивления материалов. Техника такова:
Из (14.6), (14.5) и условия несжимаемости 
вытекает уравнение для 
в котором удобно заменить переменную [53]
после чего получаем решение в квадратурах
Формулы (14.5) и (14.9) представляют собой общее решение сферически-симметричной задачи для материала Трелоара. Константы 
элементарно определяются из граничных условий 
