§ 8. Итоги асимптотического анализа

Определение главных членов асимптотики напряжений и перемещений для тонкостенных стержней оказалось намного сложнее, чем в случае массивного сечения. Дадим сводку полученных выше итоговых результатов.

Перемещение:

Напряжения:

Система уравнений для :

Эти уравнения допускают вариационную постановку. Объемная плотность энергии такова:

В координатах элемент площади а элемент объема На единицу длины приходится энергия

Для работы объемных сил на единицу длины получим

Записав далее уравнение виртуальных работ и сохранив в нем лишь главные члены, придем опять к системе (8.3).

В наших уравнениях возможны упрощения. Можно так провести ось z, что будет Можно так выбрать аддитивную константу в со что станет Подобные упрощения были сделаны в § 1, где рассматривался вариационный подход. Сопоставим гипотезы и результаты § 1 с полученными посредством, асимптотики.

Кинематические гипотезы (1.4) нашли подтверждение в (8.1). Выражение энергии (1,9) оказалось также асимптотически точным — видно из (8.5), А вот в работе нагрузок (1.7) видим непоследовательность: удержаны малые члены с в то время как в других слагаемых в вариационном уравнении члены такого порядка отброшены. Соответственно, лишние малые члены проникли и в уравнения (1.12) и (1.13). Отметим также, что вместо модуля в § 1 теперь получили право писать Е. В остальном же результаты § 1 и выводы асимптотики совпали.

Библиография

Помимо известных книг В. З. Власова [17], Г. Ю. Джанелидзе и Я. Г. Пановко [29], отметим обзор Я. Г. Пановко и Е. А. Бейлина [73]. Первые результаты в асимптотическом анализе получены В. В. Понятовским [83]. Материал главы содержится в работе автора [30], где можно найти и обширный список статей.