§ 5. Поле скоростей

Этот вопрос рассматривается во всех курсах механики сплошной среды (МСС), но в теории упругости можно обойтись без него. Среди различных моделей сплошных сред упругое тело выделяется тем, что полную систему уравнений для него можно вывести единой логически стройной процедурой (о ней — ниже). Но чтобы читатель лучше увидел преимущества этой процедуры, мы пока следуем традиционным для МСС путем.

Итак, имеем поле скоростей в пространственном описании Тензор разложим на симметричную и антисимметричную части [50, 103]:

где тензор скоростей деформации, тензор вихря, вектор вихря.

Тензор действительно определяется скоростью деформации:

От этой связи компонент можно перейти к инвариантной (см. (3.2))

Обратимся к “вихрям” . Очень широко распространено мнение, что есть угловая скорость элементарного материального объема. Оно может быть основано на равенстве

где второе слагаемое соответствует полю скоростей в твердом теле, вращающемся с угловой скоростью

Но мы имеем и другое представление о вращении элементарного объема. Поворот определяется тензором из полярного разложения (3.6). Найдем соответствующую угловую скорость

Подчеркнутое слагаемое лишь в некоторых случаях обращается в нуль — например, при постоянной во времени деформации.

Вопрос о том, какое из двух представлений угловой скорости более правильно, — не праздный. В МСС нередко возникает потребность в дифференцировании по Яуманну в системе отсчета, вращающейся вместе с элементарным объемом. Распространенное в литературе использование в выражении производной Яуманна ((2.7.2.) и (2.7.8)) теперь не покажется читателю столь уж правомерным.

В теории упругости дискуссии о поворотах не будет — правильное представление появится в ходе логически стройных выкладок без дополнительных гипотез.