Глава 12. КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ

§ 1. Колебания трехмерных тел

Рассмотрим динамическую задачу классической линейной упругости

должно быть задано и начальное распределение ими.

В соответствии с общей теорией (§ 2.8), можно начинать с анализа главных, или нормальных, колебаний:

Значения при которых однородная задача имеет нетривиальное решение — это собственные частоты, а функции собственные формы, или моды.

Отметим, что (1.2) выглядит как уравнение статики с объемной нагрузкой Поверхностная нагрузка на равна нулю. Воспользуемся тождеством Клапейрона (4.4.1):

Отсюда следует причем нулевые значения соответствуют V как в твердом теле; при закреплении хотя бы малой части границы все

Однако в этом выводе предполагалось, что вещественны. Обосновать это можно от противного. Если то комплексносопряженная величина также входит в спектр, и ей отвечает вектор с сопряженными компонентами. Далее можно воспользоваться теоремой взаимности работ для как двух статических решений:

Теорема взаимности позволяет установить и ортогональность форм: При

Поскольку определены с точностью до постоянных множителей, можно считать

Средствами функционального анализа доказывается теорема о разложении

функция удовлетворяет тем же геометрическим условиям, что и иначе сходимость не будет равномерной. Выражения коэффициентов следуют из (1.4), если ряд можно интегрировать почленно.

От нормальных колебаний перейдем к общей динамической задаче (1.2). Ее решение будем искать в виде (1.5), где Обыкновенные дифференциальные уравнения для можно получить опять-таки с помощью теоремы взаимности.

Для закрепленного на О, тела видим две статические задачи: перемещения объемные нагрузки поверхностные нагрузки на и нуль. Запишем равенство работ

Общее решение этих уравнений представимо интегралом Дюамеля

К (1.6) можно придти и методами общей механики. Разложение (1.5) позволяет считать обобщенными координатами. Кинетическая и потенциальная энергия представляются рядами

Определив обобщенные силы через виртуальную работу, получим уравнения Лагранжа (1.6).

Формула Рэлея (2.8.7) остается справедливой и для упругих тел. Отношение

рассматриваемое как функционал над (при условии имеет минимум при Если то

Однако ясная картина с разложением по формам малопригодна для практических расчетов колебаний трехмерных упругих тел. Причина — густота спектра; при вынужденных колебаниях возбуждается много форм.

Важно и то, что в реальном теле есть демпфирование; при высокой плотности собственных частот даже малое трение качественно меняет резонансную кривую. Простому переносу теории колебаний дискретных систем на континуум препятствует и волновой характер нестационарных процессов: при внезапном локальном возбуждении правильнее рассматривать волны, а не наложение форм.

От континуальной динамической модели к дискретной можно перейти посредством вариационной постановки

Это принцип, виртуальной работы с учетом сил инерции. Разыскивая приближенное решение

где задаются варьируются, придем к системе обыкновенных уравнений

Для (1.9) разработаны эффективные численные методы.

Вместо принципа виртуальной работы (1.8) можно использовать смешанную постановку Рейсснера с независимой аппроксимацией напряжений.

В динамической теории упругости часто применяется интегральное преобразование Лапласа [90]. Для тел простой формы иногда удается найти аналитическое решение в изображениях. Оригинал находится численным обращением, но иногда удаётся взять интеграл Римана-Меллина методом перевала с деформацией контура в комплексной плоскости [84, 90].