§ 12. Тензорные поля. Дифференцирование

Пусть в каждой точке некоторой области трехмерного пространства задано значение величины и. Тогда имеем поле этой величины где радиус-вектор. Например, поле температуры в среде, поле давления в идеальной жидкости. Величина и может быть тензором любого ранга. Пример векторного поля — скорости частиц жидкости.

Не только при решении конкретных задач, но часто и в общей теории приходится вместо аргумента использовать какую-либо тройку криволинейных координат При этом

Непрерывно изменяя лишь одну координату из трех, получим соответствующую координатную линию. Каждая точка пространства лежит на пересечении трех координатных линий (рис. 1).

Рис. 1

В координатной записи дифференцирование очевидно: соглашение о суммировании остается в силе. В инвариантной же форме это выглядит так:

где - градиент , V - оператор Гамильтона (набла-оператор). Если и — скаляр, то вектор; в общем же случае есть тензор ранга на единицу выше, чем

Набла-оператор строится следующим образом. Прежде всего в каждой точке пространства определяется векторный базис (эти векторы направлены по касательным к координатным линиям). Затем находим взаимный базис например, по формулам (10.2). И этого достаточно для представления оператора Гамильтона

При этом (12.1) соблюдается:

В случае декартовых координат совпадают с ортами различать верхние и нижние индексы нет необходимости, Декартовых координат достаточно для установления многих соотношений тензорного анализа. Например, градиент произведения скаляров

Свертка и векторное умножение приводят к операциям “дивергенция” и “ротор”.Для вектора

Вместо можно взять тензор любого ранга. В декартовых координатах

Далее часто будут использоваться соотношения

Повторное применение V приводит к операторам второго порядка, важнейшим из которых является лапласиан

(раскрыто двойное векторное произведение

В криволинейных координатах раскрытие операторов осложняется тем, что надо дифференцировать не только компоненты, но и базис:

Смешанные производные можно представить как

Чтобы доказать последнее равенство, достаточно рассмотреть

для соответствующих комбинаций индексов. Величины называются символами Кристоффеля первого и второго рода. Они выражаются через “компоненты метрического тензора” и симметричны по индексам

Рис. 2

С учетом (12.6) можно придать (12.5) форму

Компоненты называются ковариантными производными у. При одностороннем индексном подходе к тензорам изучению подобных объектов уделяется большое внимание.

Но с криволинейными координатами можно работать и без символов Кристоффеля. Рассмотрим, например, цилиндрические координаты (рис. 2):

Представление радиус-вектора имеет вид

Здесь орты касательных к координатным линиям. На линии имеем орт

Построив базис и кобазис, придем к выражению -оператора

Градиент вектора, например, представится в виде

След этого тензора равен дивергенции вектора, а векторный инвариант — ротору:

Для симметричного тензора второго ранга

читатель легко выведет выражение дивергенции