§ 8. Принцип Хашина-Штрикмана

Вилка Хилла основана на обычных экстремальных принципах теории упругости. Специально для механики композитов Хашин и Штрикман построили очень своеобразный функционал, который на некотором точном решении может иметь как максимум, такт и минимум, позволяя с двух сторон оценивать эффективные модули [115].

Рассмотрим первую из двух задач для представительного объема (§ 3), а также аналогичную задачу для “тела сравнения” с модулем и

той же геометрией. В композите с модулем имеем перемещений и, деформации и напряжения в теле сравнения — все со значков Штрихом обозначаются разности: Тензором поляризации называется разность

Поскольку то

Тензоры взаимно-обратные (как из закона Гука):

Для любого тензора второго ранга

Функционал Хашина-Штрикмана имеет вид

Самостоятельные аргументы обязаны удовлетворять выписанным условиям в объеме и на поверхности. Аддитивная константа введена для удобства, что прояснится ниже. Функционал обладает тремя замечательными свойствами.

На истинных имеем Проварьируем (8.2):

Учтено, что для истинного решения При этом первое подчеркнутое выражение равно нулю согласно (8.1). Покажем, что второе — также исчезает. Положим

таково ограничение в объеме (8.2). Тогда

Последнее равенство обеспечено ограничением на поверхности О.

Функционал U имеет максимум, если тело сравнения “мягкое”, и минимум, если “жесткое”. Характер экстремума определяется знаком второй вариации. Из (8.3) следует

Очевидно, при т.е. в случае (мягкое тело сравнения) имеем максимум.

Пусть теперь Используя равенство

(подчеркнутое слагаемое исчезнет), выражение из (8.4) можно преобразовать:

Подынтегральная функция положительна, если т.е. при достаточно жестком теле сравнения. Функционал тогда будет иметь минимум.

Экстремальное значение U равно энергии деформации. На истинном решении

Именно определяет эффективные модули, поэтому принцип Хашина-Штрикмана и позволяет непосредственно строить двусторонние оценки. Конкретные примеры рассмотрены в книгах [80] и [115].

Библиография

Книги Р. Кристенсена [45] и Б. Е. Победри [80] содержат и основы механики композитов, и перспективную постановку новых вопросов. Для самого требовательного читателя представляет интерес монография Т. Д. Шермершра [115]. Немало книг посвящено механике разрушения композитов — отметим труд Г. П. Черепанова [109].