Глава 4. КЛАССИЧЕСКАЯ ЛИНЕЙНАЯ УПРУГОСТЬ
§ 1. Полная система уравнений
Точные уравнения нелинейной теории упругости даже в самых простых случаях приводят к математически сложным задачам. Поэтому повсеместно применяется линейная теория упругости. Ее уравнения были выведены в первой половине XIX века Коши, Навье, Ляме, Клапейроном, Пуассоном и другими учеными — в основном французского происхождения (кроме Дж. Грина).
В современных тензорных обозначениях полная система уравнений классической линейной теории
где 
тензор напряжений; 
вектор объемных сил; 
линейный тензор деформации; 
энергия деформации на единицу объема; 
тензор (4-го ранга) жесткостей.
Уравнения (1.1) можно считать точными, поскольку они выводятся корректным варьированием из нелинейной теории. Варьирование от произвольной конфигурации рассмотрено в § 3.11. Линейная теория — результат варьирования от отсчетной ненапряженной конфигурации. При этом
Осталось заменить 
на 
.
Если такой вывод кажется читателю слишком формальным и малонаглядным, можно исходить из уравнений 
Полагая перемещение и малым, перейдем от (1,3) к (1.1).
Можно действовать и так. Вместо и возьмем 
где 
формальный малый параметр. Неизвестные представим рядами по целым степеням X
Для главных членов этих разложений получаем (1.1). В книге [103] это называется формальным приближением.
Невозможно указать в общем случае, насколько мал должен быть параметр X — ответ зависит от конкретной ситуации и определяется лишь тем, описывает линейная модель интересующий нас эффект или нет. Если, например, нам важна зависимость частоты свободных колебаний упругого тела от амплитуды, то нелинейная модель необходима.
Ясно, что линейная задача ставится в начальном объеме V с ограничивающей поверхностью 
, где вектор площадки 
Граничные условия часто предполагаются такими: на части 
поверхности заданы перемещения, а на остальной части 
силы
Но встречаются и более сложные комбинации: могут быть заданы одновременно некоторые компоненты как и, так и 
Например, на плоской границе 
при вдавливании штампа с гладкой поверхностью имеем 
(функция 
определяется формой штампа).
Начальные условия в динамических задачах, когда вместо 
имеем 
ставятся как обычно в механике — на положения и скорости, т. е. при 
заданы 
.
Следствием линейности задачи является принцип суперпозиции: при действии суммы факторов можно решать задачу для каждого фактора отдельно, а затем сложить результаты. Для статики это означает, например, следующее: если тело закреплено на 
увеличились в 
раз, то так же увеличатся и, 
. В реальной действительности такое наблюдается лишь при малых нагрузках.
Как отмечалось в гл. 2, в основу механики можно заложить принцип виртуальной работы Даламбера-Лагранжа. В линейной теории этот закон также соблюдается
поскольку
и левая часть (1.5) приобретает вид
что, конечно, равно нулю. Обратим внимание на условие 
виртуальные перемещения согласованы с этой связью 
