§ 3. Волокнистая структура

Тензор в этом случае постоянен вдоль оси по которой направлены волокна. Периодом можно считать любое число, периодичность по означает постоянство в этом направлении. Не зависят от 43 тензоры поэтому задачи на ячейке периодичности

будут двумерными — в прямоугольнике Эффективный модуль получится осреднением по этому прямоугольнику тензора Но двумерных представлений недостаточно при использовании тензора и формулы (2.10).

Будем считать материал изотропным в каждой точке, т. е.

а модули — четными функциями и Тогда гомогенная модель периодического композита будет ортотропной со следующим набором модулей:

Предстоит решить шесть задач, каждой из которых соответствует своя компонента . В уравнении (2.5) будем иметь формальную нагрузку

Задача 1 . В (3.1) при получим Запишем всю систему в компонентах:

Эта система позволяет установить четность или нечетность функций, что затем дает возможность ставить задачу не для всей ячейки, а лишь ее четверти. Опираясь на то, что в каждом уравнении все члены — одной четности или , заполним таблицу, начиная с

Таблица 2 (см. скан)

Далее учтем, что нечетные по величины из этой таблицы равны нулю, т. к. они постоянны по Поскольку и не зависят от имеем плоскую деформацию.

Теперь легко поставить граничные условия для На стороне имеем поскольку они нечетны по Такие же условия при - эти величины не только нечетны, но и непрерывны и периодичны. На сторонах подобным образом получим

Уравнения (3.2) содержат объемные силы. Если разрывны, обобщенные функции. Можно обойтись без них, переходя к постановке (2.7). Имеем

Приходим к следующей задаче без объемных сил:

Эффективные модули согласно (2.9), (2.10) таковы

Замкнутый контур интегрирования здесь — граница четверти ячейки

Задача существу это та же задача 1, но с новыми обозначениями. Можно сразу написать аналоги (3.3)-(3.5):

Задача . В (3.1) имеем Четность этой нагрузки та же, что в задачах 1 и 2. Поэтому таблица четности сохранится. Но не стоит переходить от поскольку тогда задача утратит двумерность

Формулировка задачи и выражение эффективного модуля таковы:

Здесь задача с начальными напряжениями как при температурных деформациях (см. гл. 6). Выражение получено следующим образом:

Подчеркнутое слагаемое в из (3.7) не входит в задачу для ибо

В рассматриваемой задаче 3 определяется эффективный модуль Юнга вдоль волокон. Он не равен

Задача 4 . При формальная нагрузка Вектор перпендикулярен оси и не зависит от , что характерно для плоской деформации.

Опираясь на (3.2), составим табл. 3 четности

Таблица 3 (см. скан)

Выполнены все условия плоской деформации. Задача на ячейке и выражение эффективного модуля следующие:

Задача 5 . Здесь Силы параллельны оси и постоянны вдоль нее, как при антиплоской деформации. Составляем таблицу четности с помощью (3.2):

Таблица 4 (см. скан)

Отличны от нуля лишь так и должно быть при антиполосной деформации. Вводя получим задачу на ячейке

Эффективный модуль сдвига будет следующим:

Здесь использовано преобразование

Задача 6 . Полная аналогия с задачей 5, следует лишь поменять индексы:

Рассмотренные здесь волокнистые периодические структуры нередко встречаются в технике (например, набор проводов).