Главная > Механика упругих тел
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 7. Нелинейная теория

Кажущееся на первый взгляд чрезвычайно трудным, построение теории конечных деформаций континуума Коссера становится прозрачным, если опираться на общую механику, тензорное исчисление и нелинейную теорию классической безмоментной среды.

Как и в. гл. 3, рассматривается среда из частиц с материальными координатами и радиус-вектором В начальном состоянии (отсчет-ной конфигурации) Но кроме трансляции, частицы имеют независимые степени свободы поворота, определяемого тензором

Для задания угловой ориентации с каждой частицей жестко связывается тройка линейно-независимых векторов положим Рассматривая эти векторы как базис, введем и взаимный базис (кобазис) . Тензор поворота представляется суммой

Направляющие векторы можно вводить произвольно; один из вариантов — Другое предложение: образуют ортогональную тройку ортов главных осей тензора инерции частицы как твердого тела (но как оправдать такой выбор в статике?). Движение среды определяется функциями а выбор не играет роли.

Имея представления вводим, как и в гл. 3, операторы Гамильтона и градиент деформации

При построении модели любого упругого континуума мы проходим четыре этапа: определение степеней свободы частиц, выявление силовых факторов и условий их баланса, подбор соответствующих мер деформации и, наконец, вывод соотношений упругости между силовыми факторами и деформациями. Однако этот традиционный путь резко сокращается, если опираться на принцип виртуальной работы.

Чтобы изложение было убедительнее, разберемся сначала с силовыми факторами. Введем соответствующие тензоры напряжений как множители Лагранжа. Запишем вариационное уравнение принципа виртуальной работы для тела с нагрузками в объеме и на поверхности:

Здесь плотность; сила и момент на единицу массы, и они же на единицу поверхности. Вектор малого поворота

Отбросим далее учитывая ограничения и введем соответствующие несимметичные тензоры множители Лагранжа:

После тех же преобразований, что и в § 1, получим

Отсюда вытекают уравнения баланса сил и моментов в объеме и граничные условия в виде формул типа Коши. Они по существу те же, что и в линейной теории.

Найдем теперь тензоры деформации. Их можно вводить по-разному, если требовать лишь одного — нечувствительности к перемещениям твердого тела. Читатель может найти не один вариант таких тензоров деформации. Однако принцип виртуальной работы снимает произвол, “подсказывая” вид тензоров деформации.

Рассмотрим тензор

При малых перемещениях он переходит в у из :

Компоненты тензора таковы:

Эти соотношения понятны и выразительны. В них то, что “увидел бы наблюдатель, поворачивающийся вместе с частицей в соответствии с Р”.

На перемещении твердого тела имеем

Нетрудно установить важное соотношение

(подчеркнутое выражение присутствует в Отметим и связь с обычным тензором деформации Коши-Грина

Подобно тому, как в линейной теории лишь слагаемое в у, так теперь С — только часть содержащейся в информации.

Обратимся далее к “моментной” деформации — аналогу Введем векторы

(слишком просто было бы ограничиться тензором третьего ранга .

Важным для всех моментных теорий является соотношение

Для вывода достаточно проварьировать

и учесть тождество (с вектором К)

Равенство (7.12) можно переписать так:

и далее получить

Здесь введен второй тензор деформации К и установлено важное выражение оно выглядит как (7.9). При малых поворотах тензор К переходит в из (1.2):

Отметим связь К с тензором третьего ранга

скобки здесь, впрочем, не нужны.

Целесообразность описания деформации тензорами окончательно выясняется из принципа виртуальной работы. Запишем (7.3) для произвольного объема, полагая на поверхности и применим теорему о дивергенции, учтем произвольность объема и уравнения баланса сил и моментов. Получим локальное вариационное уравнение

Считая тело упругим, ввели потенциал на единицу массы и на единицу объема в отсчетной конфигурации см. § 3.9). При выводе (7.17) использовано тождество (1.3.7).

Из (7.17) вытекают соотношения упругости

Если материал работает при малых деформациях, т. е. нелинейность геометрическая, то можно принять энергию квадратичной формой. Представляется возможным использовать выражение из линейной теории, заменив в нем у и на . В линейной теории мы имели потенциал (2.3), удобный для перехода к стесненному вращению. Но теперь удобнее эквивалентное выражение из книги В. Новацкого [68, с. 803]. Обобщая его, получим

Продифференцируем (проварьируем) П:

выражения в скобках — производные и Их можно подставить в (7.18) если материал физически-линейный.

1
Оглавление
email@scask.ru