§ 7. Нелинейная теория

Кажущееся на первый взгляд чрезвычайно трудным, построение теории конечных деформаций континуума Коссера становится прозрачным, если опираться на общую механику, тензорное исчисление и нелинейную теорию классической безмоментной среды.

Как и в. гл. 3, рассматривается среда из частиц с материальными координатами и радиус-вектором В начальном состоянии (отсчет-ной конфигурации) Но кроме трансляции, частицы имеют независимые степени свободы поворота, определяемого тензором

Для задания угловой ориентации с каждой частицей жестко связывается тройка линейно-независимых векторов положим Рассматривая эти векторы как базис, введем и взаимный базис (кобазис) . Тензор поворота представляется суммой

Направляющие векторы можно вводить произвольно; один из вариантов — Другое предложение: образуют ортогональную тройку ортов главных осей тензора инерции частицы как твердого тела (но как оправдать такой выбор в статике?). Движение среды определяется функциями а выбор не играет роли.

Имея представления вводим, как и в гл. 3, операторы Гамильтона и градиент деформации

При построении модели любого упругого континуума мы проходим четыре этапа: определение степеней свободы частиц, выявление силовых факторов и условий их баланса, подбор соответствующих мер деформации и, наконец, вывод соотношений упругости между силовыми факторами и деформациями. Однако этот традиционный путь резко сокращается, если опираться на принцип виртуальной работы.

Чтобы изложение было убедительнее, разберемся сначала с силовыми факторами. Введем соответствующие тензоры напряжений как множители Лагранжа. Запишем вариационное уравнение принципа виртуальной работы для тела с нагрузками в объеме и на поверхности:

Здесь плотность; сила и момент на единицу массы, и они же на единицу поверхности. Вектор малого поворота

Отбросим далее учитывая ограничения и введем соответствующие несимметичные тензоры множители Лагранжа:

После тех же преобразований, что и в § 1, получим

Отсюда вытекают уравнения баланса сил и моментов в объеме и граничные условия в виде формул типа Коши. Они по существу те же, что и в линейной теории.

Найдем теперь тензоры деформации. Их можно вводить по-разному, если требовать лишь одного — нечувствительности к перемещениям твердого тела. Читатель может найти не один вариант таких тензоров деформации. Однако принцип виртуальной работы снимает произвол, “подсказывая” вид тензоров деформации.

Рассмотрим тензор

При малых перемещениях он переходит в у из :

Компоненты тензора таковы:

Эти соотношения понятны и выразительны. В них то, что “увидел бы наблюдатель, поворачивающийся вместе с частицей в соответствии с Р”.

На перемещении твердого тела имеем

Нетрудно установить важное соотношение

(подчеркнутое выражение присутствует в Отметим и связь с обычным тензором деформации Коши-Грина

Подобно тому, как в линейной теории лишь слагаемое в у, так теперь С — только часть содержащейся в информации.

Обратимся далее к “моментной” деформации — аналогу Введем векторы

(слишком просто было бы ограничиться тензором третьего ранга .

Важным для всех моментных теорий является соотношение

Для вывода достаточно проварьировать

и учесть тождество (с вектором К)

Равенство (7.12) можно переписать так:

и далее получить

Здесь введен второй тензор деформации К и установлено важное выражение оно выглядит как (7.9). При малых поворотах тензор К переходит в из (1.2):

Отметим связь К с тензором третьего ранга

скобки здесь, впрочем, не нужны.

Целесообразность описания деформации тензорами окончательно выясняется из принципа виртуальной работы. Запишем (7.3) для произвольного объема, полагая на поверхности и применим теорему о дивергенции, учтем произвольность объема и уравнения баланса сил и моментов. Получим локальное вариационное уравнение

Считая тело упругим, ввели потенциал на единицу массы и на единицу объема в отсчетной конфигурации см. § 3.9). При выводе (7.17) использовано тождество (1.3.7).

Из (7.17) вытекают соотношения упругости

Если материал работает при малых деформациях, т. е. нелинейность геометрическая, то можно принять энергию квадратичной формой. Представляется возможным использовать выражение из линейной теории, заменив в нем у и на . В линейной теории мы имели потенциал (2.3), удобный для перехода к стесненному вращению. Но теперь удобнее эквивалентное выражение из книги В. Новацкого [68, с. 803]. Обобщая его, получим

Продифференцируем (проварьируем) П:

выражения в скобках — производные и Их можно подставить в (7.18) если материал физически-линейный.