§ 4. Общие теоремы статики
Формула Клапейрона. При равновесии с объемными силами 
поверхностными 
удвоенная энергия деформации равна формально вычисленной работе нагрузок
Доказательство умещается в одной строке:
Из (4.1) следует, что при отсутствии нагрузки 
Поскольку 
положительна, то 
нули.
Теорема единственности. Как и в динамике (§ 2), допускаем наличие двух решений и составляем их разность 
Она является решением однородной задачи, в которой внешних воздействий нет ни в объеме, ни на поверхности.
Рис. 11
По следствию формулы Клапейрона, напряжения и деформации в обоих решениях одинаковы — тогда 
могут отличаться лишь на перемещение твердого тела. Если граничные условия исключают такое перемещение, то 
Единственность решения (установленная Кирхгофом) противоречит, казалось бы, известным фактам. Представим себе прямой стержень, закрепленный на одном конце и сжатый продольной силой 
на другом (рис. 11). При достаточно большой нагрузке задача статики должна иметь два решения — “прямое” и “изогнутое”. Но противоречие
с теоремой Кирхгофа легко объясняется нелинейностью задачи. При малой нагрузке решение единственно и определяется линейными уравнениями.
Теорема взаимности работ. Для тела с закреплением на части поверхности 
, рассматриваются две задачи — с нагрузками 
. Словесная формулировка теоремы взаимности переносите из общей механики (§ 2.6). Математическая запись для трехмерного тела такова
Доказательство можно начать с преобразования поверхностного интеграла
Подчеркнутое слагаемое равно - 
так что слева под интегралом в (4.2) остается лишь 
Справа же получим 
но выразив та через 
и учтя известную симметрию тензора жесткости, обнаружим тождество.
Рис. 12
Теорема взаимности находит неожиданные и эффективные применения. В качестве иллюстрации рассмотрим консольную балку, изгибаемую силами 
(рис. 12). Из линейности задачи следует представление прогибов
Теорема взаимности позволяет установить симметрию матрицы “коэффициентов влияния”: 
Для доказательства обратимся к двум вспомогательным задачам (рис. 12); в первой 
а во второй — наоборот. Учитывая (4.3), из равенства работ 
придем к симметрии матрицы 
