§ 5. Вариационный переход от трехмерной модели
Используя вариационные принципы Лагранжа или Рейсснера с аппроксимацией решения по толщине, можно получить двумерные вариационные постановки. Из них вытекают и соотношения внутри области, и естественные граничные условия.
В качестве примера рассмотрим построение модели типа Тимошенко с аппроксимацией перемещений
При этом в трехмерной модели
Боковую поверхность считаем свободной, на ней заданы силы 
. Трехмерное вариационное уравнение
переходит в двумерное
Это действительно вариационная постановка из § 2, поскольку
Сопоставляя с (2.13), приходим к модулям 
Но такой вариант нельзя считать окончательным — он определяется нашим заданием аппроксимации.
Если в (5.1) положить 
получим теорию Кирхгофа с модулями (см. (3.8))
При вариационном переходе от трехмерной модели к двумерной можно использовать и принцип Рейсснера (§ 4.11)), Для пластины с
объемной нагрузкой 
поверхностной (на свободном крае) 
функционал имеет вид
(нетрудно рассмотреть и более общий случай, когда 
приложены лишь на части 
контура, а на другой 
заданы перемещения 
Возьмем аппроксимации по толщине
Варьируемые функции 
и 
идентичны введенным выше с теми же обозначениями. Подстановка в (5.7) приводит к двумерному функционалу
Вариационное уравнение 
эквивалентно следующей дифференциальной постановке:
Полагая 
будем иметь
Получили уравнения из § 2 с модулями
От (5.5) имеем лишь малое отличие в 
Рассмотренные вариационные переходы легко обобщаются на случаи: неоднородности и анизотропии материала, температурных деформаций и динамики. Достоинство принципа Рейсснера — в явном
представлении напряжений. Зато принцип Лагранжа допускает обобщение на нелинейные задачи, поскольку соответствующая трехмерная постановка у нас есть 
