Глава 11. ОБОЛОЧКИ
§ 1. Геометрия поверхностей
Поверхность в трехмерном пространстве определяется заданием радиус-вектора как функции двух координат 
. Фиксировав одну координату — пусть 
меняя другую 
получим соответствующую координатную линию 
Каждая точка поверхности является пересечением двух координатных линий. Векторы
направлены по касательным к координатным линиям. Они являются базисом для представления любого вектора в касательной плоскости
введен взаимный базис (в касательной плоскости) и компоненты вектора — ковариантные и контравариантные. Для тензоров второго (и выше) ранга будем иметь и смешанные компоненты.
Важную роль играют “ковариантные компоненты первого метрического тензора” 
Они определяют расстояния и углы между линиями на поверхности:
В каждой точке поверхности введем орт нормали
теперь можно рассматривать любые векторы и тензоры в пространстве: 
иага и т. п. Отметим равенства
Величина 
определяет площадь на поверхности. Отметим, что а не является инвариантом — в разных балансах 
значения а различны. Введем оператор Гамильтона
(и может быть тензором любого ранга). Тогда первый метрический тензор
Его смешанные компоненты равны символам Кронекера 
Тензор а играет роль единичного тензора в касательной плоскости:
Отметим также соотношения
и введем антисимметричный дискриминантный тензор
(
символ Леви-Чивита, как и 
). Для любого тензора второго ранга в касательной плоскости
Кривизна поверхности определяется вторым метрическим тензором
Симметрия 
следует из выводимых ниже деривационных формул.
Рассмотрим дифференцирование (по 
векторов и 
Имеем 
Эагр 
Могут понадобиться и символы Кристоффеля второго рода 
. В качестве упражнения читатель может вывести формулу
Геометрия поверхностей содержит не только формулы, но и фундаментальные положения едва ли не философского характера. Такова теорема Гаусса о кривизне, вытекающая из уравнений совместности. Кодацци-Петерсона-Майнарди [40, 81]. Последние выражают очевидную симметрию величины
по любой паре индексов. Используя (1.13), найдем
Симметрия по 
, присущая и 
переходит и к 
поэтому достаточно констатировать симметрию по 
и у:
Первое из этих уравнений показывает, что кривизну можно определить по 
т. е. по метрике. Свертка с дискриминантным тензором 
приводит к следующему:
где 
гауссова кривизна, а 
средняя кривизна.
Заметим, что 
Ьаеаеа, где 
главные значения, а 
ортогональная пара ортов главных осей; 
На поверхности имеем два семейства 
касательные к которым направлены по 
Разумеется, при этом 
еаеа.
Важным является понятие изгибания поверхности. Это такая ее деформация, при которой не меняются ни расстояния, ни узлы (т. е. сохраняется метрика). Пример — изгиб плоскости в цилиндрическую поверхность. Изгибание характеризуется постоянством ковариантных компонент Дар. Теорема Гаусса (1.16) показывает, что кривизна К не меняется при изгибаниях.
В механике оболочек изгибание важно потому, что деформациям в касательной плоскости (т. е. изменению 
) оболочка сопротивляется много сильнее, чем изгибу. Невозможность изгибаний означает большую жесткость. На этот счет существуют важные теоремы — например, все замкнутые выпуклые поверхности не допускают непрерывных изгибаний [81].
Далее понадобятся некоторые соотношения для трехмерного пространства вблизи поверхности. Представление радиус-вектора
позволяет построить базис, кобазис и оператор Гамильтона:
Справедлива следующая теорема о дивергенции
где 
— произвольная область на поверхности; 
ограничивающая ее замкнутая линия с ортом нормали 
в касательной плоскости.
Слагаемое со средней кривизной 
отличает (1.18) от аналогичной теоремы на плоскости. Вместо вектора и может стоять тензор любого ранга.
Доказательство (1.18) можно построить с помощью теоремы Стокса о циркуляции (1.13.2):
производные по 
равны нулю, поскольку 
постоянны на нормалях;
Подчеркнутые множители равны нулю.
