§ 6. Магнитная жесткость
В электротехнике распространены обмотки всевозможной формы, в которых провод намотан так, что образуется некое массивное тело. Такие обмотки есть в статоре генератора автомобиля (да и в роторе), в больших промышленных электромагнитах и в магнитных системах установок “Токамак” для управляемого термоядерного синтеза — примеров множество. Сочетание токопровода и изоляции образует периодический композит, и одной из главных нагрузок для него является пондеромоторная магнитная сила. Рассчитывая деформации и механические напряжения в обмотке, начинают с определения магнитных сил. Поскольку распределение токов задано известной геометрией проводов, достаточно интегрирования по формуле Био-Савара (4.3). Термин “магнитоупругость” при этом неуместен, так как задачи магнитостатики и упругости решаются раздельно.
Однако при деформации обмотки меняются и поле 
и вызываемое им поле В. Объемная сила становится равной
Подчеркнутое слагаемое соответствует недеформированному состоянию. Обусловленное деформацией изменение объемной силы линейно связано с малым перемещением и, поэтому матричное (после дискретизации) уравнение в перемещениях можно представить в виде
К обычному оператору линейной упругости С добавилась магнитная жесткость 
силы в недоформированном состоянии.
Добавка 
пропорциональна квадрату тока и может стать весьма существенной в магнитных системах с сильным полем. Учет ее необходим и при недостаточной величине 
в номинальном режиме конструкция может держать нагрузку, но дополнительная нагрузка неблагоприятного направления может оказаться “невыносимой”.
Но особенно важна роль магнитной жесткости в задачах устойчивости. Поскольку магнитные силы потенциальны, матрица 
симметрична, и критические параметры могут быть найдены статическим методом Эйлера.
Как иллюстрацию рассмотрим простую задачу о балке в продольном магнитном поле. Балка располагается на декартовой оси z, концы 
закреплены, магнитная индукция 
по балке течет постоянный (по величине) ток 
. В классической модели балки при равных жесткостях на изгиб для прогиба 
легко получить следующую постановку:
Вводя комплексную комбинацию и - их 
будем иметь
с общим решением
Подстановка в граничные условия приводит к однородной системе для постоянных 
приравняв нулю определитель, придем к характеристическому уравнению
Наименьший положительный корень 
так что критическая комбинация параметров такова:
В этом решении поле В считалось внешним и не варьировалось. Но если собственное поле тока в стержне сравнимо с В, решение изменится и усложнится.
Библиография
Основы электродинамики хорошо изложены во многих книгах [14, 105], но для приложений в механике выделяется курс И.Е. Тамма [94]. Растет список литературы по связанным задачам электромагнетизма и упругости [78, 82]. Введением в эту область может служить книга В. Новацкого [69].
