§ 7. Подход с множителями Лагранжа

Уязвимым местом нашего изложения теории оболочек являются формулы (2.1) и отсутствие в них нормального момента. Должно быть, однако, ясно, что учет этого момента сразу ведет к теории Коссера для поверхности (гл. III из книги [120]). Убедимся далее, что принцип виртуальной работы при (на перемещениях твердого тела) с введением соответствующих множителей Лагранжа также ведет к модели Коссера.

При перемещениях без деформации

( — из (4.2)) имеем уравнение виртуальной работы

Множители Лагранжа тензоры вида это следует из вида ограничений (7.1).

Заданные на контуре нагрузки произвольные векторы в пространстве.

По теореме о дивергенции

что позволяет преобразовать (7.2) к виду

Отсюда вытекают уравнения баланса сил и моментов внутри области и формулы типа Коши на контуре. Ясно, что а вот в тензоре моментов обнаружились и “нормальные” компоненты.

Считая далее материальную поверхность упругой, получим

Все это — известная простая механика поверхности Коссера.

Уважая опыт изучения оболочек, начиная с Кирхгофа, можно сомневаться в том, что модель Коссера наилучшим образом описывает поведение оболочки как тонкого трехмерного тела.