§ 4. Трещинодвижущая сила
Это едва ли не главное понятие механики трещин. Рассмотрим его, следуя Дж. Райсу и Д. Друкеру (1967) [36, 37, 63]. Схема рассуждений та же, что и в случае дислокаций и точечных дефектов. Вычислим изменение полной механической энергии тела с трещиной при виртуальном перемещении ее фронта.
Рис. 45
Но сначала рассмотрим тело с полостью (рис. 45). Граница полости — замкнутая поверхность X, на части О, наружной поверхности заданы перемещения
на другой части
поверхностные силы
При равновесии будет минимальной энергия
Виртуально изменим поверхность I, превратив ее в
Тело потеряет объем
, энергия станет равной
Здесь
и
малые разности точных решений двух задач — с поверхностями
и
Функционал (4.1) определяется лишь положением и формой поверхности полости.
Приращение энергии
Преобразуем поверхностный интеграл по
учитывая граничные условия
Подчеркнутый множитель равен
так что (4.2) принимает вид
Отметим, что в рамках обычной символики вариационного исчисления запись (4.3) некорректна (оставлены малые высшего порядка). Но в рассматриваемых преобразованиях малые первого и второго порядка перемешаны, что станет ясно ниже.
В линейной упругости
и согласно формуле Тейлора для квадратичного потенциала
Поэтому равенство (4.3) можно переписать как
Рис. 46
Далее вместо полости будем рассматривать разрез, различая берега
Поверхность
отличается от
узкой полоской
с берегами
(рис. 46).
Нормаль
к поверхностям
и
, понимаемым в обычном смысле, направлена “от минуса к плюсу”. После очевидного исчезновения интеграла по
в (4.4) получим
поскольку
Интеграл в (4.5) — это работа поверхностных сил
при расхождении берегов. Понятно наличие минуса — такова связь работы с изменением потенциала. Множитель вызван непостоянством
совершающих работу сил. И все же формула (4.5) не очевидна, ее изощренный вывод не напрасен.
На узкой полоске
можно воспользоваться асимптотическими формулами (2.3), (3.4), (3.7). Мы вывели их для антиплоской и плоской деформаций, но достаточно очевидно, что они верны и в общем случае. Ось z “местной декартовой системы” направим по касательной к фронту трещины (рис. 46), орт оси
фронт переместился в направлении оси х на А (ширина полоски). Можно представить (4.5) в виде
(контур интегрирования — фронт трещины).
Далее учтем, что х соответствует первой задаче (фронт не продвинут), и потому на отрезке
следует считать в асимптотических формулах
Скачок же перемещения
определяется второй задачей и формулами при
Вычислим внутренний интеграл в (4.6):
Формулы (4.6) и (4.7) для
показывают, что на единицу длины фронта трещины действует (в направлении
сила
Эта трещинодвижущая сила определяется тройкой коэффициентов интенсивности
, зависящих от дуговой координаты на фронте. Сила
связана с энергией системы в целом, хотя
локальные характеристики решения. Уточним:
та часть силы на единицу длины фронта, которая обусловлена энергией деформации
и воздействиями