§ 4. Трещинодвижущая сила

Это едва ли не главное понятие механики трещин. Рассмотрим его, следуя Дж. Райсу и Д. Друкеру (1967) [36, 37, 63]. Схема рассуждений та же, что и в случае дислокаций и точечных дефектов. Вычислим изменение полной механической энергии тела с трещиной при виртуальном перемещении ее фронта.

Рис. 45

Но сначала рассмотрим тело с полостью (рис. 45). Граница полости — замкнутая поверхность X, на части О, наружной поверхности заданы перемещения на другой части поверхностные силы При равновесии будет минимальной энергия

Виртуально изменим поверхность I, превратив ее в Тело потеряет объем , энергия станет равной

Здесь и малые разности точных решений двух задач — с поверхностями и Функционал (4.1) определяется лишь положением и формой поверхности полости.

Приращение энергии

Преобразуем поверхностный интеграл по учитывая граничные условия

Подчеркнутый множитель равен так что (4.2) принимает вид

Отметим, что в рамках обычной символики вариационного исчисления запись (4.3) некорректна (оставлены малые высшего порядка). Но в рассматриваемых преобразованиях малые первого и второго порядка перемешаны, что станет ясно ниже.

В линейной упругости и согласно формуле Тейлора для квадратичного потенциала

Поэтому равенство (4.3) можно переписать как

Рис. 46

Далее вместо полости будем рассматривать разрез, различая берега

Поверхность отличается от узкой полоской с берегами (рис. 46).

Нормаль к поверхностям и , понимаемым в обычном смысле, направлена “от минуса к плюсу”. После очевидного исчезновения интеграла по в (4.4) получим

поскольку

Интеграл в (4.5) — это работа поверхностных сил при расхождении берегов. Понятно наличие минуса — такова связь работы с изменением потенциала. Множитель вызван непостоянством

совершающих работу сил. И все же формула (4.5) не очевидна, ее изощренный вывод не напрасен.

На узкой полоске можно воспользоваться асимптотическими формулами (2.3), (3.4), (3.7). Мы вывели их для антиплоской и плоской деформаций, но достаточно очевидно, что они верны и в общем случае. Ось z “местной декартовой системы” направим по касательной к фронту трещины (рис. 46), орт оси фронт переместился в направлении оси х на А (ширина полоски). Можно представить (4.5) в виде

(контур интегрирования — фронт трещины).

Далее учтем, что х соответствует первой задаче (фронт не продвинут), и потому на отрезке следует считать в асимптотических формулах Скачок же перемещения определяется второй задачей и формулами при Вычислим внутренний интеграл в (4.6):

Формулы (4.6) и (4.7) для показывают, что на единицу длины фронта трещины действует (в направлении сила Эта трещинодвижущая сила определяется тройкой коэффициентов интенсивности , зависящих от дуговой координаты на фронте. Сила связана с энергией системы в целом, хотя локальные характеристики решения. Уточним: та часть силы на единицу длины фронта, которая обусловлена энергией деформации и воздействиями