§ 7. Определение перемещений по деформациям

Разложив градиент перемещения на симметричную и антисимметричную части

будем иметь

На первый взгляд, определить и по невозможно, поскольку необходимо иметь еще одно поле поворота Но соотношение

(вытекающее из позволяет определить по

где некоторая линия, проведенная из точки О в точку Опираясь на (7.3), можем проинтегрировать (7.2) по частям:

Соотношения (7.4) и (7.5), определяющие поля по полю называются формулами Чезаро [53].

Однако интегралы в (7.4) и (7.5) не должны зависеть от пути из поскольку а и к - однозначные функции места. Следовательно! для любого замкнутого контура

Если занятая материалом область односвязна, т. е. на любой замкнутый контур можно натянуть поверхность, не выходя из области, то применима теорема Стокса (1.13.2)

Контур здесь произволен, так что приходим к важному соотношению, называемому уравнением совместности деформаций

Теорему о циркуляции (Стокса) применим и ко второму интегралу в (7.6). Проделав самостоятельно простые выкладки, читатель будет, удивлен: опять получим (7.8).

Итак, уравнение совместности является достаточным условием; однозначности при определении их по в односвязной области. Оно же есть необходимое следствие выражения через и

Рассмотрим компоненты в декартовом базисе:

Тензор симметричен вместе с так что для шести компонент имеем шесть уравнений, но они не определяют деформации, а лишь служат ограничениями для них.

Вернемся к компонентам (7.9). Используя формулу (1.5.2), будем иметь

что равносильно следующему:

взяв след от обеих частей (7.11), получим

так что (7.11) и (7.10), действительно, эквивалентны.

Уравнениям совместности можно дать следующую неформальную трактовку. Мысленно разделим тело в отсчетной конфигурации на малые кубики. Согласно заданному полю каждый кубик превращается в косоугольный параллелепипед. Для того, чтобы в актуальной конфигурации тело осталось сплошным, деформации кубиков должны быть неким образом согласованы.

Все уравнения линейной теории должны иметь аналог (первоисточник) в нелинейной. Чтобы найти его для (7.8), вспомним тензор деформации Коши-Грина, метрический тензор и тензоры Римана—Кристоффеля и Риччи (§ 1.15)

Компоненты метрического тензора (точнее, меры Коши-Грина) должны удовлетворять шести уравнениям Риччи — это и есть уравнения совместности в нелинейной теории.