§ 8. Напряжения при намотке катушки

Не только дислокации и точечные дефекты, но и макроскопические факторы могут быть источниками собственных напряжений. При намотке катушки (рис. 42) в ней возникают напряжения от натяжения ленты Расчет этих напряжений очень сложен, если рассматривать детально процесс укладки ленты.

Но существует четкий алгоритм Саусвелла [88] расчета напряжений в катушке: укладка каждого нового витка вызывает внутри приращения напряжений, определяемые соотношениями линейной упругости. Здесь два этапа, и первый состоит в решении задачи Ляме для цилиндра при нагрузке на внешнем радиусе единичным давлением. При этом в двумерной модели

Рис. 42

а условие на оправке определяется свойствами последней.

Второй этап алгоритма начинается расчетом давления витка на внутренние слои. Если толщина витка а напряжение в ленте то давление

что следует из уравнений равновесия нити (§ 8.9) без касательной нагрузки и при соответствующей симметрии. Давление вызывает прирост напряжений: Интегрируя с учетом начальных условий, получим

где конечный радиус намотки.

Эти напряжения удовлетворяют уравнению баланса сил:

Но соответствующие им деформации несовместны: равенство не выполняется, если выразить через по закону Гука.

Наличие напряжений можно связать с некоторыми начальными несовместными деформациями, но это уже другой подход к данной задаче.

Библиография

Дислокации и точечные дефекты в линейно-упругих телах рассмотрены многими авторами: Дж. Эшелби [117], Р. Де Витом [28], К. Теодосиу [95], А. Коттрелом [41]. Теория собственных напряжений изложена у Э. Кренера [44]. Методика расчета напряжений при намотке описана в книге Р. В. Саусвелла [88].