§ 8. Напряжения при намотке катушки
Не только дислокации и точечные дефекты, но и макроскопические факторы могут быть источниками собственных напряжений. При намотке катушки (рис. 42) в ней возникают напряжения от натяжения ленты
Расчет этих напряжений очень сложен, если рассматривать детально процесс укладки ленты.
Но существует четкий алгоритм Саусвелла [88] расчета напряжений в катушке: укладка каждого нового витка вызывает внутри приращения напряжений, определяемые соотношениями линейной упругости. Здесь два этапа, и первый состоит в решении задачи Ляме для цилиндра при нагрузке на внешнем радиусе
единичным давлением. При этом в двумерной модели
Рис. 42
а условие на оправке
определяется свойствами последней.
Второй этап алгоритма начинается расчетом давления витка на внутренние слои. Если толщина витка
а напряжение в ленте
то давление
что следует из уравнений равновесия нити (§ 8.9) без касательной нагрузки и при соответствующей симметрии. Давление вызывает прирост напряжений:
Интегрируя с учетом начальных условий, получим
где
конечный радиус намотки.
Эти напряжения удовлетворяют уравнению баланса сил:
Но соответствующие им деформации несовместны: равенство
не выполняется, если выразить
через по закону Гука.
Наличие напряжений можно связать с некоторыми начальными несовместными деформациями, но это уже другой подход к данной задаче.
Библиография
Дислокации и точечные дефекты в линейно-упругих телах рассмотрены многими авторами: Дж. Эшелби [117], Р. Де Витом [28], К. Теодосиу [95], А. Коттрелом [41]. Теория собственных напряжений изложена у Э. Кренера [44]. Методика расчета напряжений при намотке описана в книге Р. В. Саусвелла [88].