§ 6. Статика

Рассмотрим систему со стационарными связями при статических (т. е. не зависящих от времени) активных силах . В положении равновесия и формулировка принципа виртуальной работы следующая:

Важны обе стороны этого положения: и вариационное уравнение и равенство нулю обобщенных сил.

Соотношения (6.1) — это самые общие уравнения статики. В литературе распространено суженное представление об уравнениях равновесия как балансе сил и моментов. Но читателю должно быть ясно, что набор уравнений равновесия точно соответствует обобщенным координатам. Главный вектор и главный момент в уравнениях равновесия фигурируют, поскольку у системы есть степени свободы трансляции и поворота. Особая популярность сил и. моментов связана не только с известностью статики твердого тела, но и с тем, что виртуальная работа внутренних сил на “жестких” перемещениях равна нулю в любой среде.

Пусть в системе действуют два вида сил: потенциальные с энергией и дополнительные внешние Из (6.1) следуют уравнения равновесия

иногда называемые теоремой Лагранжа. В (6.2) заключена нелинейная в общем случае задача статики о связи положения равновесия с нагрузками

В линейной системе с квадратичными потенциалом

В последнем равенстве — матрица жесткости С и столбцы координат и нагрузок.

Сказанное допускает обобщения на континуальные линейные упругие системы.

Матрица жесткости С обычно оказывается положительной (таково свойство конструкций в природе и технике). Тогда система (6.3) однозначно разрешима, а решение линейной алгебраической системы можно заменить минимизацией квадратичной формы

Бывает однако, что конструкция неудачно спроектирована, и матрица жесткости вырождена. Тогда решение задачи статики (6.3) будет существовать лишь при ортогональности столбца нагрузок всем линейно независимым решениям однородной сопряженной системы:

Это общее конструктивное условие разрешимости линейной системы; при имеем лишь и решение существует при любой правой части.

Отметим, что С вырождается при недостаточном закреплении конструкции. Для свободной конструкции (самолет в воздухе) это перемещение твердого тела, а условия ортогональности — это самоуравновешенность внешних нагрузок.

Известные теоремы статики линейно упругих систем элементарно доказываются в случае конечного числа степеней свободы. Теорема Клайперона выражается равенством

В левой части — формально вычисленная работа нагрузок, есть решение системы (6.3). Из (6.6) следует, что минимальное значение “потенциальной энергии системы” из (6.4) равно -П.

Легко запоминаемая теорема взаимности работ (работа сил первого состояния (1) на перемещениях второго (2) равна мгновенно выводится из (6.3):

Здесь существенна симметрия матрицы С, т. е. консервативность системы.

Но вернемся к теореме Лагранжа (6.2). Ее можно обратить преобразованием Лежандра

Это теорема Кастильяно, называется дополнительной энергией. В линейной системе равно если Теорема Кастильяно может быть очень полезна — если легко находится о Встречаются так называемые статически определимые системы, в которых все силовые факторы удается найти из баланса сил и моментов. Для них эффективна (6.8).

В отличие от линейной задачи (6.3), нелинейная задача (6.2) может вообще не иметь решений или же иметь их несколько. Полезным приемом исследования нелинейной задачи является наложение малой деформации на конечную. При изменении нагрузки на бесконечно малую величину решение (6.2) изменится на некое варьируя (6.2), получим

Это линейная система с симметричной матрицей Но матрица зависит от состояния перед варьированием. Если при некоторой нагрузке матрица вырождается, можно говорить о потере жесткости или потере устойчивости: об этом ниже отдельная глава.

Разговор о статике в общей механике закончим принципом Даламбера: уравнения динамики отличаются от статических лишь наличием дополнительных “сил инерции — ”. Принцип Даламбера очевиден, но бездумное его применение может привести к ошибкам. Например, уравнения вязкой жидкости в статике и динамике отличаются не только инерционными членами. В данной же книге рассматриваются лишь упругие тела, и принцип Даламбера будет работать.